Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/165

\mathrm on aura

${\begin{aligned}H=&{\frac {a\left(m^{2}+n^{2}\right)-(bm+cn)\left(h-{\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}}\right)}{2\left(m^{2}+n^{2}\right){\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}}}}\\=&{\frac {a\left(m^{2}+n^{2}\right)-(bm+cn)h}{2\left(m^{2}+n^{2}\right){\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}}}}+{\frac {bm+cn}{2\left(m^{2}+n^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Faisons maintenant varier $h\,;$ il viendra en différentiant

${\frac {d\mathrm {H} }{dh}}=-{\frac {ah-bm-cn}{2\left(h^{2}-m^{2}-n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

donc enfin

$\alpha ={\frac {ah-bm-cn}{\left(h^{2}-m^{2}-n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Si l’on substitue maintenant pour $a,b,c,h,m,n$ leurs valeurs (33), on trouvera

${\begin{aligned}ah-bm-cn=&g^{4}\mathrm {\left[\left(R^{2}+{\frac {P^{2}+Q^{2}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {P^{2}+Q^{2}}{2}}\right)^{2}\right]} \\=&g^{4}\mathrm {R^{2}\left(R^{2}+P^{2}+Q^{2}\right)} ,\\\\h^{2}-m^{2}-n^{2}=&g^{4}\mathrm {R^{2}\left(R^{2}+P^{2}+Q^{2}\right)} -g^{2}\mathrm {\left[R^{2}\left(B^{2}+C^{2}\right)+(PC-QB)^{2}\right]} \,;\end{aligned}}$

et, mettant pour $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ leurs valeurs $\mathrm {RN-PL,\ -RM-QL}$ (29), on aura

${\begin{aligned}\mathrm {R^{2}\left(B^{2}+C^{2}\right)+(PC-QB)^{2}} =&\mathrm {R^{4}\left(M^{2}+N^{2}\right)-2R^{3}L(PN-MQ)} \\&+\mathrm {R^{2}L^{2}\left(P^{2}+Q^{2}\right)+R^{2}(PM+QN)^{2}} \,;\end{aligned}}$

mais on a, par l’équation de condition (G) du n^o 8,

$\mathrm {LR=MQ-NP} \,;$

donc le terme $\mathrm {-2R^{3}L(PN-MQ)}$ deviendra $\mathrm {R^{4}L^{2}+R^{2}(PN-MQ)^{2}} \,;$ faisant cette substitution et remarquant que

$\mathrm {(PM+QN)^{2}+(PN-MQ)^{2}=\left(P^{2}+Q^{2}\right)\left(M^{2}+N^{2}\right)} ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {R^{2}\left(B^{2}+C^{2}\right)+(PC-QB)^{2}} =&\mathrm {R^{4}\left(L^{2}+M^{2}+N^{2}\right)} \\&\qquad \mathrm {+R^{2}\left(P^{2}+Q^{2}\right)\left(L^{2}+M^{2}+N^{2}\right)} \\=&\mathrm {R^{2}\left(R^{2}+P^{2}+Q^{2}\right)\left(L^{2}+M^{2}+N^{2}\right)} \,;\end{aligned}}$