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et que de même l’autre fraction se développe dans la série correspondante

$\mathrm {H+\left(I-K{\sqrt {-1}}\right)} e^{-u{\sqrt {-1}}}+\mathrm {\left(L-M{\sqrt {-1}}\right)} e^{-2u{\sqrt {-1}}}+\ldots \,;$

donc, ajoutant ensemble ces deux séries et remettant les sinus et cosinus à la place des exponentielles imaginaires, on aura la série toute réelle

$2\mathrm {H} +2\mathrm {I} \cos u-2\mathrm {K} \sin u+2\mathrm {L} \cos 2u-2\mathrm {M} \sin 2u+\ldots$

pour le développement de la fraction proposée

${\frac {a+b\cos u-c\sin u}{h+m\cos u-n\sin u}}.$

Ainsi l’on aura (numéro précédent)

$\mathrm {A=2H,\quad D=-2K,\quad E=2I,\quad F=-2M,\quad G=2L,\ldots } ,$

et par conséquent

$\alpha =-2{\frac {d\mathrm {H} }{dh}},\quad \alpha \delta =2{\frac {d\mathrm {K} }{dh}},\quad \alpha \varepsilon =-2{\frac {d\mathrm {I} }{dh}},\ldots ,$

et il ne s’agira plus que d’avoir les valeurs de $\mathrm {H,I,K} ,\ldots$ en fonction de $h,$ ce qui est facile d’après les formules du numéro précédent.

Nous n’avons besoin pour notre objet que de la valeur $\mathrm {H} \,;$ or il est visible que l’on a

$\mathrm {H} ={\frac {\lambda }{\varpi }}={\frac {a\varpi ^{2}-bm-cn}{\varpi ^{4}-m^{2}-n^{2}}}\,;$

et, substituant pour $\varpi ^{2}$ et $\varpi ^{4}$ leurs valeurs,

$\mathrm {H} ={\frac {a\left(h+{\sqrt {h^{2}-m^{2}+n^{2}}}\right)-bm-cn}{2\left(h^{2}-m^{2}-n^{2}\right)+2h{\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}}}}\,;$

or le dénominateur est égal à

$2\left(h+{\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}}\right){\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}}\,;$

donc, multipliant le haut et le bas de la fraction par $h-{\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}},$