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car en multipliant en croix et comparant les termes, on aura ces six équations

$\varpi ^{2}+\rho ^{2}+\sigma ^{2}=2h,\quad \varpi \rho =m,\quad \varpi \sigma =n,$

$\lambda \varpi +\mu \rho +\nu \sigma =a,\quad \lambda \rho +\mu \varpi =b,\quad \lambda \sigma +\nu \varpi =c,$

lesquelles serviront à déterminer les six inconnues, $\lambda ,\mu ,\nu ,\varpi ,\rho ,\sigma .$

En effet la seconde et la troisième donnent d’abord

$\rho ={\frac {m}{\varpi }},\quad \sigma ={\frac {n}{\varpi }},$

valeurs qui étant substituées dans la première donneront cette transformée

$\varpi ^{4}-2h\varpi ^{2}+m^{2}+n^{2}=0,$

d’où l’on tire

$\varpi ^{2}=h+{\sqrt {h^{2}-m^{2}-n^{2}}}\,;$

ensuite les trois autres équations deviendront par les mêmes substitutions

$\lambda \varpi ^{2}+m\mu +n\nu =a\varpi ,\quad \lambda m+\mu \varpi ^{2}=b\varpi ,\quad \lambda n+\nu \varpi ^{2}=c\varpi \,;$

ces deux dernières donnent

$\mu ={\frac {b\varpi -m\lambda }{\varpi ^{2}}},\quad \nu ={\frac {c\varpi -n\lambda }{\varpi ^{2}}},$

et l’on aura par la première, en y substituant ces valeurs,

$\lambda ={\frac {\left(a\mu ^{2}-bm-cn\right)\varpi }{\varpi ^{4}-m^{2}-n^{2}}},$

où il ne s’agira plus que de substituer la valeur déjà trouvée de $\varpi .$

Maintenant il est visible que la fraction

${\frac {\lambda +\left(\mu +\nu {\sqrt {-1}}\right)e^{u{\sqrt {-1}}}}{\varpi +\left(\rho +\sigma {\sqrt {-1}}\right)e^{u{\sqrt {-1}}}}}$

se développe naturellement en une série de la forme

$\mathrm {H+\left(I+K{\sqrt {-1}}\right)} e^{u{\sqrt {-1}}}+\mathrm {\left(L+M{\sqrt {-1}}\right)} e^{2u{\sqrt {-1}}}+\ldots ,$