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fraction rationnelle

${\frac {a+b\cos 2q-c\sin 2q}{(h+m\cos 2q-n\sin 2q)^{2}}},$

développée suivant les sinus et cosinus des multiples de $2q.$

Or, si au lieu de cette fraction on considère celle-ci plus simple

${\frac {a+b\cos 2q-c\sin 2q}{h+m\cos 2q-n\sin 2q}},$

et qu’on la développe en une série de la forme

$\mathrm {A} +\mathrm {D} \sin 2q+\mathrm {E} \cos 2q+\mathrm {F} \sin 4q+\mathrm {G} \cos 4q+\ldots ,$

il est clair qu’en faisant varier de part et d’autre la quantité $h,$ et divisant par $dh,$ on aura

$-{\frac {a+b\cos 2q-c\sin 2q}{(h+m\cos 2q-n\sin 2q)^{2}}}={\frac {d\mathrm {A} }{dh}}+{\frac {d\mathrm {D} }{dh}}\sin 2q+{\frac {d\mathrm {E} }{dh}}\cos 2q+{\frac {d\mathrm {F} }{dh}}\sin 4q+\ldots .$

De sorte qu’on aura par la comparaison des termes

$\alpha =-{\frac {d\mathrm {A} }{dh}},\quad \alpha \delta =-{\frac {d\mathrm {D} }{dh}},\quad \alpha \varepsilon =-{\frac {d\mathrm {E} }{dh}},\ldots .$

Il ne s’agit donc que de développer la dernière fraction ; c’est ce qu’on peut faire par différentes méthodes ; mais aucune ne me paraît plus simple que celle que je vais exposer, et qui peut d’ailleurs être utile aussi dans d’autres occasions.

34. Je fais pour plus de simplicité $2q=u,$ et substituant dans la fraction proposée, à la place de sinu et cosu, leurs valeurs en exponentielles imaginaires, je la réduis à cette forme

${\frac {2a+\left(b+c{\sqrt {-1}}\right)e^{u{\sqrt {-1}}}+\left(b-c{\sqrt {-1}}\right)e^{-u{\sqrt {-1}}}}{2h+\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)e^{u{\sqrt {-1}}}+\left(m-n{\sqrt {-1}}\right)e^{-u{\sqrt {-1}}}}}.$

Cette fraction peut se partager en ces deux-ci

${\frac {\lambda +\left(\mu +\nu {\sqrt {-1}}\right)e^{u{\sqrt {-1}}}}{\varpi +\left(\rho +\sigma {\sqrt {-1}}\right)e^{u{\sqrt {-1}}}}}+{\frac {\lambda +\left(\mu -\nu {\sqrt {-1}}\right)e^{-u{\sqrt {-1}}}}{\varpi +\left(\rho -\sigma {\sqrt {-1}}\right)e^{-u{\sqrt {-1}}}}}\,;$