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on aura cette transformée

${\frac {\left[g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}-\mathrm {C} \sin q+\mathrm {B} \cos q\right]^{2}}{\left[g^{2}\mathrm {R} ^{2}+g^{2}(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}-(\mathrm {C} \sin q-\mathrm {B} \cos q)^{2}\right]^{2}}}\,;$

laquelle se réduit à cette forme

${\frac {a+b\cos 2q-c\sin 2q+2g(\mathrm {B} \cos q-\mathrm {C} \sin q)\mathrm {V} }{(h+m\cos 2q-n\sin 2q)^{2}}},$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}a=&g^{2}\mathrm {\left(R^{2}+{\frac {Q^{2}+P^{2}}{2}}\right)+{\frac {C^{2}+B^{2}}{2}}} ,\\b=&g^{2}\mathrm {{\frac {P^{2}-Q^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}-C^{2}}{2}}} ,\\c=&g^{2}\mathrm {PQ+BC} ,\\h=&g^{2}\mathrm {\left(R^{2}+{\frac {Q^{2}+P^{2}}{2}}\right)-{\frac {C^{2}+B^{2}}{2}}} ,\\m=&g^{2}\mathrm {{\frac {P^{2}-Q^{2}}{2}}-{\frac {B^{2}-C^{2}}{2}}} ,\\n=&g^{2}\mathrm {PQ-BC} ,\\\mathrm {V} =&{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}.\end{aligned}}$

À considérer cette formule, il est facile de voir que la partie qui a pour numérateur $a+b\cos 2q-c\sin 2q$ ne donnera par le développementque des termes proportionnels à des sinus ou cosinus de multiples pairs de $q,$ et que l’autre partie dont le numérateur est $2g(\mathrm {B} \cos q-\mathrm {C} \sin q)\mathrm {V}$ donnera seulement des termes proportionnels aux sinus et cosinus des multiples impairs de $q.$ De sorte qu’on aura (30)

${\begin{aligned}{\frac {a+b\cos 2q-c\sin 2q}{(h+m\cos 2q-n\sin 2q)^{2}}}=&\alpha \left(1+\delta \sin 2q+\varepsilon \cos 2q+\ldots \right),\\{\frac {2g(\mathrm {B} \cos q-\mathrm {C} \sin q)\mathrm {V} }{(h+m\cos 2q-n\sin 2q)^{2}}}=&\alpha \left(\beta \sin q+\gamma \cos q+\zeta \sin 3q+\eta \cos 3q+\ldots \right).\end{aligned}}$

Ainsi la question se réduit à trouver le terme tout constant $\alpha$ de la