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32. Dans les orbites non troublées la quantité $p$ est proportionnelle au temps $t,$ parce que les quantités $\mathrm {R} ,\Pi ,\alpha$ y sont constantes, en sorte que

$p={\frac {t}{\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha }}.$

Ainsi $p$ est alors la valeur moyenne de $q\,;$ et puisque $q$ est la longitude vraie de la Planète, $p$ en sera la longitude moyenne.

Il n’en est pas de même pour les orbites troublées, ou les quantités $\mathrm {R} ,\Pi ,\alpha$ H, a sont variables ; cependant on peut toujours, par analogie, y regarder la quantité $p$ comme la longitude moyenne ; mais alors le mouvement moyen ne sera plus uniforme, et la vitesse de ce mouvement sejrouvera exprimée par la quantité variable ${\frac {1}{\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha }}.$

Si cette quantité ne contenait que des termes proportionnels aux sinus ou cosinus de $t$ et de ses multiples, il est clair que les variations de $p$ qui en proviendraient ne seraient que périodiques ; elles rentreraient par conséquent dans les inégalités périodiques du mouvement des Planètes, inégalités dont nous faisons abstraction dans ces Recherches. Mais si la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha }}$ renferme des termes qui croissent en même temps que t, ou qui aient une période très-longue, ces termes donneront des variations séculaires dans le mouvement moyen, et la détermination de ces variations est un des points les plus importants de la Théorie que nous traitons. Il est donc nécessaire de déterminer rigoureusement la loi de la variation de la quantité dont il s’agit, et pour cela il faut connaître la valeur de la quantité qui représente le terme tout constant de la fraction

${\frac {1}{\left[g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}+\mathrm {C} \sin q-\mathrm {B} \cos q\right]^{2}}},$

développée suivant les sinus et cosinus des multiples de $q\,;$ c’est de quoi nous allons nous occuper.

33. Commençons par faire disparaître le radical du dénominateur, en multipliant le haut et le bas de la fraction par la quantité

$\left[g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}-\mathrm {C} \sin q+\mathrm {B} \cos q\right]^{2},$