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de laquelle, puisque $(\beta ),(\gamma )$ sont supposées très-petites du premier ordre, $(\delta ),(\varepsilon )$ très-petites du second ordre, et ainsi de suite, il est facile de tirer la valeur de $q$ en $p,$ exprimée par une suite fort convergente.

31. En général, si l’on a l’équation

$q+f(q)=p,$

$f(q)$ dénotant une fonction quelconque de $q,$ on aura, par le Théorème que j’ai donné ailleurs,

$q=p-f(p)+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[f(p)\right]^{2}}{dp}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[f(p)\right]^{3}}{dp^{2}}}+\ldots ,$

et même, en dénotant par $\varphi$ une autre fonction quelconque et faisant $\varphi '(p)={\frac {d\varphi (p)}{dp}},$

$\varphi (q)=\varphi (p)-f(p)\varphi '(p)+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[\left[f(p)\right]^{2}\varphi '(p)\right]}{dp}}-\ldots .$

Ainsi, dans notre cas, il n’y aura qu’à faire

$f(q)=-(\beta )\cos q+(\gamma )\sin q-\ldots ,$

et par conséquent

$f(p)=-(\beta )\cos p+(\gamma )\sin p-{\frac {1}{2}}(\delta )\cos 2p+{\frac {1}{2}}(\varepsilon )\sin 2p-\ldots ,$

et exécuter ensuite relativement à $p$ les différentiations indiquées.

On trouvera de cette manière en supposant

$q=p-(\mathrm {B} )\cos p-(\mathrm {C} )\sin p+(\mathrm {D} )\cos 2p-(\mathrm {E} )\sin 2p+\ldots ,$

en supposant

${\begin{aligned}(\mathrm {B} )=&(\beta )-{\frac {1}{4}}(\beta )(\varepsilon )+{\frac {1}{4}}(\gamma )(\delta )+\ldots ,\\(\mathrm {C} )=&(\gamma )+{\frac {1}{4}}(\beta )(\delta )+{\frac {1}{4}}(\gamma )(\varepsilon )+\ldots ,\\(\mathrm {D} )=&{\frac {1}{2}}(\delta )-(\beta )(\gamma )+\ldots ,\\(\mathrm {E} )=&{\frac {1}{2}}(\varepsilon )+{\frac {1}{2}}(\beta )^{2}-{\frac {1}{2}}(\gamma )^{2}+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$