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On aura de même

${\begin{aligned}&\int \gamma \cos qdq=\gamma \sin q-\int {\frac {d\gamma }{dq}}\sin qdq,\\&\int {\frac {d\gamma }{dq}}\sin qdq=-{\frac {d\gamma }{dq}}\cos q+\int {\frac {d^{2}\gamma }{dq^{2}}}\cos qdq,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait ces substitutions successives, et qu’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}(\beta )=&\beta -{\frac {d\gamma }{dq}}-{\frac {d^{2}\beta }{dq^{2}}}+{\frac {d^{3}\gamma }{dq^{3}}}+{\frac {d^{4}\beta }{dq^{4}}}-\ldots ,\\(\gamma )=&\gamma +{\frac {d\beta }{dq}}-{\frac {d^{2}\gamma }{dq^{2}}}-{\frac {d^{3}\beta }{dq^{3}}}+{\frac {d^{4}\gamma }{dq^{4}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$\int (\beta \sin qdq+\gamma \cos qdq)=-(\beta )\cos q+(\gamma )\sin q.$

Et, supposant pareillement.

${\begin{aligned}(\delta )=&\delta -{\frac {1}{2}}{\frac {d\varepsilon }{dq}}-{\frac {1}{4}}{\frac {d^{2}\delta }{dq^{2}}}+{\frac {1}{8}}{\frac {d^{3}\varepsilon }{dq^{3}}}+{\frac {1}{16}}{\frac {d^{4}\delta }{dq^{4}}}-\ldots ,\\(\varepsilon )=&\varepsilon +{\frac {1}{2}}{\frac {d\delta }{dq}}-{\frac {1}{4}}{\frac {d^{2}\varepsilon }{dq^{2}}}-{\frac {1}{8}}{\frac {d^{3}\delta }{dq^{3}}}+{\frac {1}{16}}{\frac {d^{4}\varepsilon }{dq^{4}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

on trouvera

$\int (\delta \sin 2qdq+\varepsilon \cos 2qdq)=-{\frac {1}{2}}(\delta )\cos q+{\frac {1}{2}}(\varepsilon )\sin q,$

et ainsi de suite.

À l’égard du second membre de l’équation, il est évidemment intégrable en y regardant $\mathrm {R} ,\Pi ,\alpha$ comme des fonctions de $t.$

Soit, pour plus de simplicité,

$dp={\frac {dt}{\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha }},$

et l’intégrale de l’équation en question sera

$q-(\beta )\cos q+(\gamma )\sin q-{\frac {1}{2}}(\delta )\cos 2q+{\frac {1}{2}}(\varepsilon )\sin 2q+\ldots =p,$