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30. Lorsque l’inclinaison et l’excentricité sont l’une et l’autre fort petites, comme cela a lieu dans notre système planétaire, les quantités $\mathrm {P} \,;$ et $\mathrm {Q}$ sont nécessairement toujours très-petites vis-à-vis de $\mathrm {R} ,$ et les quantités $\mathrm {L,M,N}$ le sont aussi (4, 9), de sorte que $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ seront pareillement très-petites par rapport à $\mathrm {R} .$ On pourra donc dans ce cas développer la fraction

${\frac {1}{\left[g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}+\mathrm {C} \sin q-\mathrm {B} \cos q\right]^{2}}}$

en une suite fort convergente, laquelle, étant ordonnée relativement aux sinus et cosinus de $q$ et de ses multiples, sera de la forme

$\alpha \left(1+\beta \sin q+\gamma \cos q+\delta \sin 2q+\varepsilon \cos 2q+\ldots \right),$

$\alpha$ étant une quantité finie ; $\beta ,\gamma$ étant des quantités très-petites du premier ordre ; $\delta ,\varepsilon$ étant très-petites du second ordre, et ainsi de suite.

Par ce moyen, l’équation précédente deviendra

$\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha \left(1+\beta \sin q+\gamma \cos q+\delta \sin 2q+\varepsilon \cos 2q+\ldots \right)dq=dt,$

ou bien en divisant par $\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha ,$

$dq+\beta \sin qdq+\gamma \cos qdq+\delta \sin 2qdq+\varepsilon \cos 2qdq+\ldots ={\frac {dt}{\mathrm {R} \Pi ^{4}\alpha }}.$

Le premier membre de cette équation est intégrable exactement lorsque $\beta ,\gamma ,\ldots$ sont des quantités constantes ; mais, lorsque ces quantités sont variables, il faut avoir recourus aux séries ; et l’on trouve ; en employant l’opération connue des intégrations par parties, et regardant $\beta ,\gamma ,\ldots$ comme des fonctions de $q.$

${\begin{aligned}&\int \beta \sin qdq=-\beta \cos q+\int {\frac {d\beta }{dq}}\cos qdq,\\&\int {\frac {d\beta }{dq}}\cos qdq={\frac {d\beta }{dq}}\sin q-\int {\frac {d^{2}\beta }{dq^{2}}}\sin qdq,\\&\int {\frac {d^{2}\beta }{dq^{2}}}\sin qdq=-{\frac {d^{2}\beta }{dq^{2}}}\cos q+\int {\frac {d^{3}\beta }{dq^{3}}}\cos qdq,\end{aligned}}$

et ainsi de suite,