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$r$ sera la distance accourcie de la Planète au Soleil, et $q$ sa longitude héliocentrique.

En mettant ces expressions de $x$ et $y$ dans l’équation

$\mathrm {P} x-\mathrm {Q} y+\mathrm {R} z=0$

du n^o 4, on en tire

$z={\frac {r}{\mathrm {R} }}(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q).$

“De là on aura

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\frac {r}{\mathrm {R} }}{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}\,;$

“et l’équation

$g\rho =\mathrm {N} x+\mathrm {M} y+\mathrm {L} z+\Pi ^{2}$

du n^o 7 donnera, en faisant

$\mathrm {B=RN-PL,\quad C=-RM-QL} ,$

comme dans le n^o 8,

$r={\frac {\mathrm {R} \Pi ^{2}}{g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}+\mathrm {C} \sin q-\mathrm {B} \cos q}}.$

Et comme les mêmes équations ont lieu aussi en y faisant varier simplement $x,y,z,$ et regardant les autres quantités comme constantes (10), il s’ensuit que, pour avoir les valeurs des différences $dz$ et $dr,$ il suffira de faire varier dans les formules précédentes les quantités $z,r,q,$ en prenant $\mathrm {P,Q,R,\Pi ,B,C}$ pour constantes.

Enfin l’équation

$xdy-ydx=\mathrm {R} dt$

du n^o 3 donnera

$r^{2}dq=\mathrm {R} dt,$

de sorte qu’en substituant pour $r^{2}$ sa valeur en $q$ on aura

${\frac {\mathrm {R} \Pi ^{4}dq}{\left[g{\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+(\mathrm {Q} \sin q-\mathrm {P} \cos q)^{2}}}+\mathrm {C} \sin q-\mathrm {B} \cos q\right]^{2}}}=dt.$

Par cette équation oh déterminera donc $q$ en $t\,;$ ensuite on aura, par la substitution de cette valeur de $q,$ celles de $x,y,z$ en $t.$