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hautes différences des variables, leurs valeurs tirées des équations différentielles données. De la même manière une intégrale qui renferme trois constantes arbitraires fournira, par deux différentiations successives, deux autres intégrales, et ainsi de suite. Donc, si les intégrâtes connues renferment autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans la somme des exposants des équations différentielles, ce qui est le cas des intégrales finies et complètes, on trouvera par leur moyen autant d’intégrales différentes qu’il y a d’arbitraires ; et l’on aura par la méthode précédente toutes les équations nécessaires pour déterminer les valeurs de ces constantes devenues variables.

De plus on pourra dans ce cas déterminer les variables finies $x,y,\ldots ,$ ainsi que leurs différences ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},\ldots$ jusqu’à ${\frac {d^{m-1}x}{dt^{m-1}}},\ {\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}},\ldots ,$ en fonction de $t$ et des constantes arbitraires $a,b,\ldots \,;$ et il est visible que ces fonctions seront les mêmes, soit que ces arbitraires soient variables ou non ; de sorte que, dans les différentiations de $x,y,$ jusqu’à $d^{m-1}x,d^{n-1}y,\ldots ,$ on pourra toujours regarder et traiter les quantités $a,b,c,\ldots$ comme des constantes invariables.

27. La méthode que j’avais donnée dans les Mémoires de 1775^[1] rentre aussi dans celle que je viens d’exposer, et l’on peut généraliser ainsi l’application que j’en avais faite aux équations linéaires. En effet, lorsque $\Xi ,\Psi ,\ldots$ sont des fonctions linéaires des variables $x,y,\ldots$ et de leurs différences, il est facile de prouver que $\mathrm {V,U} ,\ldots$ seront aussi des fonctions linéaires des mêmes variables et des constantes arbitraires $a,b,\ldots .$ Donc ${\frac {d\mathrm {V} }{da}},{\frac {d\mathrm {V} }{db}},{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {d^{m-1}x}{dt}}}},\ldots$ seront des fonctions de $t.$ Par conséquent si $\Xi ',\Psi ',\ldots$ sont données en $t$ seul, on déterminera facilement les valeurs de $a,b,\ldots$ en $t.$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 159. et suivantes.