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rendre nulle la partie restante de $d\mathrm {V} ,$ c’est-à-dire les termes provenant de la différence de $a,$ et de la substitution des quantités $\Xi ',\Psi ',\ldots$ au lieu de ${\frac {d^{m}x}{dt^{m}}},\ {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}},\ldots ,$ ce qui donnera équation

${\frac {d\mathrm {V} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {d^{m-1}x}{dt^{m-1}}}}}\Xi 'dt+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}}}\Psi 'dt+\ldots =0.$

C’est l’équation qui servira à déterminer la valeur convenable de la quantité $a$ devenue variable.

Si l’on avait deux équations intégrales

$\mathrm {V} =0,\quad \mathrm {U} =0,$

des mêmes équations différentielles

${\frac {d^{m}x}{d^{m}t}}=\Xi ,\quad {\frac {d^{n}y}{d^{n}t}}=\Psi ,\ldots ,$

et que ces intégrales continssent deux constantes arbitraires $a,b,$ on prouverait de la même manière qu’elles pourraient l’être aussi des équations

${\frac {d^{m}x}{d^{m}t}}=\Xi +\Xi ',\quad {\frac {d^{n}y}{d^{n}t}}=\Psi +\Psi ',\ldots ,$

en y supposant $a$ et $b$ variables, et déterminées par ces équations

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {V} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {V} }{db}}db&+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {d^{m-1}x}{dt^{m-1}}}}}\Xi 'dt+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}}}\Psi 'dt+\ldots =0,\\{\frac {d\mathrm {U} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {U} }{db}}db&+{\frac {d\mathrm {U} }{d{\cfrac {d^{m-1}x}{dt^{m-1}}}}}\Xi 'dt\,+{\frac {d\mathrm {U} }{d{\cfrac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}}}\Psi 'dt+\ldots =0.\end{aligned}}$

Et ainsi de suite si l’ori avait un plus grand nombre d’intégrales.

26. Au reste, quand on connaît une intégrale qui renferme deux constantes arbitraires, on en peut d’abord déduire une seconde par la seule différentiation, en substituant, s’il est nécessaire, à la place des plus