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dans lesquelles $\Xi ,\Psi ,\ldots$ soient des fonctions données des variables $t,x,y,\ldots$ et des différences ${\frac {dx}{dt}},\ {\frac {dy}{dt}},\ldots ,{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ldots$ des ordres inférieurs à ${\frac {d^{m}x}{dt^{m}}},$${\frac {d^{n}y}{dt^{n}}},\ldots .$

Supposons que l’on connaisse une intégrale quelconque de ces équations, laquelle soit représentée par

$\mathrm {V} =0,$

$\mathrm {V}$ étant une fonction des mêmes variables et de leurs différences, et contenant de plus une constante arbitraire $a.$ On sait que, si l’on différentie cette intégrale en y faisant tout varier excepté $a,$ et qu’on y substitue ensuite pour ${\frac {d^{m}x}{dt^{m-1}}},\ {\frac {d^{n}y}{dt^{n-1}}},\ldots$ leurs valeurs $\Xi dt,\Psi dt,\ldots$ tirées des équations différentielles, on doit avoir une équation identique avec l’équation $\mathrm {V} =0,$ ou du moins qui aura lieu en même temps que celle-ci, indépendamment d’aucune relation entre $a,t,x,y,\ldots ,{\frac {dx}{dt}},\ldots \,;$ de sorte que, l’équation $\mathrm {V} =0$ étant posée, la différence $d\mathrm {V}$ deviendra identiquement nulle après les substitutions dont il s’agit.

Soient maintenant proposées les équations

${\frac {d^{m}x}{dt^{m}}}=\Xi +\Xi ',\quad {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=\Psi +\Psi ',\ldots ,$

$\Xi ',\Psi ',\ldots$ étant de même des fonctions de $t,x,y,\ldots ,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},\ldots ,$ jusqu’à ${\frac {d^{m-1}x}{d^{m-1}t}},{\frac {d^{n-1}y}{d^{n-1}t}},\ldots \,;$ il est clair que la même équation $\mathrm {V} =0$ pourra satisfaire aussi à ces équations, pourvu que la quantité $a,$ étant supposée variable, soit telle que la différentielle $d\mathrm {V}$ devienne nulle en même temps que $\mathrm {V} ,$ après la substitution des valeurs précédentes de ${\frac {d^{m}x}{dt^{m}}},\ {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}},\ldots .$ Or nous venons de voir que la partie de $d\mathrm {V} ,$ qui ne contient point la différence $da,$ devient identiquement nulle avec la fonction $\mathrm {V}$ par la substitution des $\Xi ,\Psi ,\ldots$ à la place de ${\frac {d^{m}x}{dt^{m}}},\ {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}},\ldots .$ Donc il n’y aura qu’à