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étant différentiées en y faisant varier $\mathrm {L,M,N}$ et ${\frac {dx}{dt}},\ {\frac {dy}{dt}},\ {\frac {dz}{dt}},$ donneront immédiatement les formules différentielles du n^o 19, en se souvenant que

$\rho dr=xdx+yxy+zdz.$

On peut de même déterminer directement les variations des éléments $\Pi$ et $\Delta$ par le moyen des formules trouvées dans le n^o 12. Car

1^o On a

$\Pi ^{2}={\frac {\rho ^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}{dt^{2}}}-{\frac {(\rho d\rho )^{2}}{dt^{2}}},$

et cette équation, en y faisant varier $\Pi$ de $d\Pi$ et ${\frac {dx}{dt}},\ {\frac {dy}{dt}},\ {\frac {dz}{dt}}$ comme ci-dessus, donne immédiatement la formule différentielle trouvée à la fin du n^o 18 ;

2^o On a

$\Delta ={\frac {2g}{\rho }}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}},$

et il est visible qu’il en naîtra sur-le-champ la formule différentielle du n^o 22, par la variation de $\Delta ,\ {\frac {dx}{dt}},\ {\frac {dy}{dt}},\ {\frac {dz}{dt}}.$

25. Il n’est pas nécessaire au reste, pour l’usage de la méthode précédente, que les intégrales soient réduites à la forme $\mathrm {V} =a,$ ainsi que nous l’avons supposé ; mais cette réduction, qui est d’ailleurs toujours possiblé, sert à rendre le calcul plus direct et les formules plus simples. Comme cette méthode peut être d’une grande utilité dans plusieurs autres occasions, je crois qu’on me permettra d’ajouter encore quelques mots sur cet objet, quoique ce ne soit pas ici le lieu d’en traiter.

Pour présenter la méthode dont il s’agit de la manière la plus simple et en même temps la plus générale qu’il est possible, considérons une ou plusieurs équations différentielles telles que

${\frac {d^{m}x}{dt^{m}}}=\Xi ,\quad {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=\Psi ,\ldots ,$