Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/149

méthode générale dont je me suis servi pour déterminer les variations de la distance moyenne, dans les Mémoires de 1776^[1], méthode qui a l’avantage d’être applicable à toutes les questions du même genre.

Suivant cette méthode, si $\mathrm {V} =a$ est une intégrale quelconque des équations différentio-différentielles de l’orbite non troublée, $\mathrm {V}$ étant une fonction connue de $t,x,y,z$ et de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et $a$ une constante arbitraire, et qu’on veuille supposer $a$ variable pour l’orbite troublée, il n’y aura qu’à différentier, en faisant varier d’un côté la quantité $a,$ et de l’autre les quantités ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ contenues dans $\mathrm {V} ,$ et substituer ensuite à la place des différences de celles-ci les valeurs de ${\frac {d^{2}x}{dt}},{\frac {d^{2}y}{dt}},{\frac {d^{2}z}{dt}},$ dues uniquement aux forces perturbatrices. Car la différentielle de $\mathrm {V} ,$ prise en faisant tout varier, doit devenir nulle d’elle-même, lorsqu’on y substitue pour $d{\frac {dx}{dt}},d{\frac {dy}{dt}},d{\frac {dz}{dt}}$ les valeurs tirées des équations de l’orbite non troublée, puisque $\mathrm {V} =a$ est (hypothèse) une intégrale de ces équations. De sorte qu’en ajoutant à ces valeurs les termes $-\mathrm {X} dt,$$-\mathrm {Y} dy,-\mathrm {Z} dt$ dus aux forces perturbatrices (2), on aura simplement

$d\mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}(-\mathrm {X} dt)+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}(-\mathrm {Y} dt)+{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}(-\mathrm {Z} dt)\,;$

les quantités ${\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}},\ldots$ exprimant suivant la notation reçue tes coeffieients de $d{\frac {dx}{dt}},\ldots$ dans la différentielle de $\mathrm {V} .$

De cette manière, si l’on change, suivant le n^o 16, les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ en ${\frac {d\Omega }{dx}},{\frac {d\Omega }{dy}},{\frac {d\Omega }{dz}},$ on aura, pour la variation de $a,$ cette équation

$da=-{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}{\frac {d\Omega }{dx}}dt-{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}{\frac {d\Omega }{dy}}dt-{\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}{\frac {d\Omega }{dz}}dt.$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 255.