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et les mêmes équations donnent aussi, comme on l’a vu dans le n^o 12,

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2g}{\rho }}-\Delta \,;$

donc, faisant ces substitutions, on aura

$\lambda d\lambda =\left(2g\rho -2\Pi ^{2}-{\frac {\rho ^{2}d\rho ^{2}}{dt^{2}}}\right)(d\Omega )-\Delta \Phi \rho d\rho \,;$

mais on a par les formules du même numéro cité

${\frac {\rho ^{2}d\rho ^{2}}{dt^{2}}}=-\Delta \rho ^{2}+2g\rho -\Pi ^{2}\,;$

donc

$\lambda d\lambda =\left(\Delta \rho ^{2}-\Pi ^{2}\right)(d\Omega )-\Delta \Phi \rho d\rho ,$

$\Delta$ étant égal à ${\frac {g^{2}-\lambda ^{2}}{\Pi ^{2}}}$ (11). Ainsi l’on aura directement par cette équation la variation de l’excentricité ${\frac {\lambda }{g}}.$

22. Enfin, puisque

$\lambda ^{2}=g^{2}-\Delta \Pi ^{2},$

on aura, en substituant la valeur de $\Pi d\Pi$ du n^o 18,

$\lambda d\lambda =-\Delta \Pi d\Pi -\Pi ^{2}{\frac {d\Delta }{2}}=-\Delta \Phi \rho d\rho +\Delta \rho ^{2}(d\Omega )-\Pi ^{2}{\frac {d\Delta }{2}}\,;$

et, cette valeur de $\lambda d\lambda$ étant comparée à celle que nous venons de trouver dans le numéro précédent, il viendra cette formule très-simple

${\frac {d\Delta }{2}}=(d\Omega ),$

laquelle servira à déterminer les variations de la distance moyenne ${\frac {g}{\Delta }}$ (13).

23. La méthode que j’ai suivie pour trouver les formules différentielles des variations des éléments des Planètes est, ce me semble, la plus directe et la plus naturelle qu’il est possible, étant déduite des principes mêmes de la chose ; mais j’aurais pu y parvenir plus simplement par la