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ce qui, à cause de

$\mathrm {P} x-\mathrm {Q} y+\mathrm {R} z=0,$

se réduit à

$(\mathrm {L} y-\mathrm {M} z)dt=\mathrm {P} \rho dr,\quad (\mathrm {N} z-\mathrm {L} x)dt=-\mathrm {Q} \rho dr,\quad (\mathrm {M} x-\mathrm {N} y)dt=\mathrm {R} \rho dr\,;$

de sorte qu’on aura

$\mathrm {N} d\mathrm {P} -\mathrm {M} d\mathrm {Q} +\mathrm {L} d\mathrm {R} =\left(\mathrm {P} {\frac {d\Omega }{dx}}-\mathrm {Q} {\frac {d\Omega }{dy}}+\mathrm {R} {\frac {d\Omega }{dz}}\right)\rho d\rho .$

Donc enfin

$\mathrm {N} d\mathrm {P} -\mathrm {M} d\mathrm {Q} +\mathrm {L} d\mathrm {R} +\mathrm {P} d\mathrm {N} -\mathrm {Q} d\mathrm {M} +\mathrm {R} d\mathrm {L} =0,$

équation qui est, comme on voit, la différentielle de celle qu’il s’agissait de vérifier.

21. Puisque

$\lambda ^{2}=\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} ,$

on aura, en ajoutant ensemble les trois équations du n^o 19, après les avoir respectivement multipliées par $\mathrm {N,M,L} ,$

${\begin{aligned}\lambda d\lambda =&2(\mathrm {N} x+\mathrm {M} y+\mathrm {L} z)(d\Omega )-\Phi (\mathrm {N} dx+\mathrm {M} dy+\mathrm {L} dz)\\&-\left(\mathrm {N} {\frac {d\Omega }{dx}}+\mathrm {M} {\frac {d\Omega }{dy}}+\mathrm {L} {\frac {d\Omega }{dz}}\right)\rho dr\,;\end{aligned}}$

or l’équation de l’orbite donne (7, 10)

$\mathrm {N} x+\mathrm {M} y+\mathrm {L} z=g\rho -\Pi ^{2},\quad \mathrm {N} dx+\mathrm {M} dy+\mathrm {L} dz=g\rho d\rho \,;$

de plus, les équations (E) donnent, en substituant pour $\mathrm {P.Q,R}$ leurs valeurs tirées des équations (B),

(I)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {N} =&x\left({\frac {g}{\rho }}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {\rho d\rho dx}{dt^{2}}},\\\mathrm {M} =&\,y\left({\frac {g}{\rho }}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {\rho d\rho dy}{dt^{2}}},\\\mathrm {L} =&\ z\left({\frac {g}{\rho }}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {\rho d\rho dz}{dt^{2}}},\end{aligned}}\right.$