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Par ces équations, on aura les variations de l’excentricité ${\frac {\lambda }{g}},$ de la longitude de l’aphélie $\varphi ,$ et de la latitude $\eta$ de cet aphélie par rapport au plan de projection, au moyen des formules (10)

$\mathrm {L} =\lambda \sin \eta ,\quad \mathrm {M} =\lambda \cos \eta \sin \varphi ,\quad \mathrm {N} =\lambda \cos \eta \cos \varphi .$

20. Au reste il n’est pas nécessaire d’employer ces trois équations pour la détermination des éléments dont il s’agit ; car nous avons vu (8) qu’il y a entre les quantités $\mathrm {L,M,N}$ cette équation de condition

$\mathrm {NP-MQ+LR} =0,$

au moyen de laquelle on peut déterminer une quelconque d’entre elles par les deux autres. On pourrait peut-être douter si en effet les formules différentielles trouvées satisfont à cette équation ; pour lever ce doute et confirmer en même temps la justesse de nos formules, nous allons faire voir comment elles y satisfont ; à cet effet nous ajouterons d’abord ensemble les trois formules du numéro précédent, après les avoir multipliées respectivement par $\mathrm {P,-Q,R} \,;$ ce qui, en ayant égard (4) aux équations

$\mathrm {P} x-\mathrm {Q} y+\mathrm {R} z=0,\quad \mathrm {P} dx-\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz=0,$

donnera

$\mathrm {P} d\mathrm {N} -\mathrm {Q} d\mathrm {M} +\mathrm {R} d\mathrm {L} =-\left(\mathrm {P} {\frac {d\Omega }{dx}}-\mathrm {Q} {\frac {d\Omega }{dy}}+\mathrm {R} {\frac {d\Omega }{dz}}\right)\rho d\rho \,;$

ensuite les trois formules du n^o 17, étant multipliées respectivement par $\mathrm {N,-M,L}$ et ajoutées ensemble, donneront

$\mathrm {N} d\mathrm {P} -\mathrm {M} d\mathrm {Q} +\mathrm {L} d\mathrm {R} =$

${\frac {d\Omega }{dx}}(\mathrm {L} y-\mathrm {M} z)dt+{\frac {d\Omega }{dy}}(\mathrm {N} z-\mathrm {L} x)dt+{\frac {d\Omega }{dz}}(\mathrm {M} x-\mathrm {N} y)dt\,;$

mais, en substituant les valeurs de $\mathrm {L,M,N}$ résultantes des formules (E) du n^o 6, on a

${\begin{aligned}(\mathrm {L} \,y-\mathrm {M} z)dt=&(\mathrm {Q} dx+\mathrm {P} dy)y-(\mathrm {R} dx+\mathrm {P} dz)z,\\(\mathrm {N} \,z-\mathrm {L} \,x)dt=&-(\mathrm {R} dy+\mathrm {Q} dz)z-(\mathrm {Q} dx+\mathrm {P} dy)x,\\(\mathrm {M} x-\mathrm {N} y)dt=&(\mathrm {R} dx-\mathrm {P} dz)x+(\mathrm {R} dy+\mathrm {Q} dz)y,\end{aligned}}$