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tions(B) du n^o 3, on a

${\begin{aligned}(\mathrm {Q} z+\mathrm {R} y)dt=&(xdz-zdx)z+(xdy-ydx)y\\=&x(ydy+zdz)-dx\left(y^{2}+z^{2}\right)=x\rho d\rho -\rho ^{2}dx,\\(\mathrm {P} z-\mathrm {R} x)dt=&(ydz-zdy)z-(xdy-ydx)x\\=&y(xdx+zdz)-dy\left(x^{2}+z^{2}\right)=y\rho d\rho -\rho ^{2}dy,\\(\mathrm {P} y+\mathrm {Q} x)dt=&(ydz-zdy)y+(xdz-zdx)x\\=&-z(xdx+ydy)+dz\left(x^{2}+y^{2}\right)=-z\rho d\rho +\rho ^{2}dz.\end{aligned}}$

Donc si l’on fait, pour abréger,

${\frac {d\Omega }{dx}}x+{\frac {d\Omega }{dy}}y+{\frac {d\Omega }{dz}}z=\Phi ,\quad {\frac {d\Omega }{dx}}dx+{\frac {d\Omega }{dy}}dy+{\frac {d\Omega }{dz}}dz=(d\Omega )$

[l’expression $(d\Omega )$ indique la différentielle partielle de $\Omega ,$ en n’y faisant varier que les $x,y,z$ relatives à la Planète $\mathrm {T}$ ], on aura

$\Pi d\Pi =\Phi \rho d\rho -\rho ^{2}(d\Omega ).$

19. En second lieu, les équations (D) deviendront, par la substitution des valeurs précédentes de $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,$

${\begin{alignedat}{4}-{\frac {d\Omega }{dx}}(ydy+zdz)+&{\frac {d\Omega }{dy}}(xdy+\mathrm {R} dt)&+&{\frac {d\Omega }{dz}}(xdz+\mathrm {Q} dt)&=&d\mathrm {N} ,\\{\frac {d\Omega }{dx}}(ydx-\mathrm {R} dt)-&{\frac {d\Omega }{dy}}(xdx+zdz)&+&{\frac {d\Omega }{dz}}(ydz+\mathrm {P} dt)&=&d\mathrm {M} ,\\{\frac {d\Omega }{dx}}(zdx-\mathrm {Q} dt)+&{\frac {d\Omega }{dy}}(zdy-\mathrm {P} dt)&-&{\frac {d\Omega }{dz}}(ydy+xdx)&=&d\mathrm {L} ,\end{alignedat}}$

et si l’on y substitue encore les valeurs de $\mathrm {P} dt,\mathrm {Q} dt,\mathrm {R} dt$ (3), elles se réduiront à la forme suivante

${\begin{aligned}d\mathrm {N} =&2x(d\Omega )-\Phi dx-{\frac {d\Omega }{dx}}\rho d\rho ,\\d\mathrm {M} =&2y(d\Omega )-\Phi dy-{\frac {d\Omega }{dy}}\rho d\rho ,\\d\mathrm {L} =&2z(d\Omega )-\Phi dz-{\frac {d\Omega }{dz}}\rho d\rho ,\end{aligned}}$

les quantités $\Phi$ et $(d\Omega )$ étant les mêmes que dans le numéro précédent.