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et qu’on dénote à l’ordinaire par ${\frac {d\Omega }{dx}},{\frac {d\Omega }{dy}},{\frac {d\Omega }{dz}}$ les coefficients de $dx,dy,dz,$ dans la différentielle de la quantité $\Omega$ regardée comme fonction des variables $x,y,z\,;$ il est clair que les expressions précédentes de $\mathrm {X,Y,Z}$ se réduiront à celles-ci

$\mathrm {X} ={\frac {d\Omega }{dx}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {d\Omega }{dy}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {d\Omega }{dz}}.$

17. On substituera donc ces valeurs dans les équations différentielles (A) et (D), et l’on aura en premier lieu

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\left({\frac {d\Omega }{dy}}z-{\frac {d\Omega }{dz}}y\right)dt,\\d\mathrm {Q} =&\left({\frac {d\Omega }{dx}}z-{\frac {d\Omega }{dz}}x\right)dt,\\d\mathrm {R} =&\left({\frac {d\Omega }{dx}}y-{\frac {d\Omega }{dy}}x\right)dt.\end{aligned}}$

Ces formules serviront à déterminer les variations de la longitude $\omega$ du nœud et de la tangente $\theta$ de l’inclinaison, en faisant (5)

$\mathrm {P=R} \theta \sin \omega ,\quad \mathrm {Q=R} \theta \cos \omega ,$

et de plus la variation du paramètre ${\frac {\Pi ^{2}}{g}}$ de l’orbite (9), $\Pi ^{2}$ étant égal à $\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}} .$

18. Si l’on voulait déterminer directement les variations de $\Pi ,$ il n’y aurait qu’à ajouter ensemble les équations précédentes, après les, avoir multipliées respectivement par $\mathrm {P,Q,R} .$ On aura ainsi en ordonnant les termes

$\Pi d\Pi ={\frac {d\Omega }{dx}}(\mathrm {Q} z+\mathrm {R} y)dt+{\frac {d\Omega }{dy}}(\mathrm {P} z-\mathrm {R} x)dt-{\frac {d\Omega }{dz}}(\mathrm {P} y+\mathrm {Q} x)dt.$

Or, en substituant pour $\mathrm {P,Q,R}$ les valeurs données par les équa-