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laquelle donne en intégrant

$t+T={\frac {g\psi +\lambda \sin \psi }{\Delta ^{\frac {3}{2}}}},$

$T$ étant la constante arbitraire.

C’est la formule ordinaire qui sert de fondement aux solutions du Problème de Képler, et où l’angle $\psi$ est ce qu’on nomme en Astronomie l’anomalie excentrique.

Lorsque les quantités $\Delta$ et $\Pi$ sont variables, on peut aussi employer la même substitution de

$\rho ={\frac {g+\lambda \cos \psi }{\Delta }}\,;$

et l’on trouvera alors

$dt={\frac {g+\lambda \cos \psi }{\Delta ^{\frac {3}{2}}}}\left(d\psi +{\frac {\cos \psi d\lambda }{\lambda \sin \psi }}\right)+{\frac {(g+\lambda \cos \psi )^{2}d\Delta }{\Delta ^{\frac {5}{2}}\lambda \sin \psi }}\,;$

mais cette formule est peu commode pour le calcul, à cause qu’elle contient $\sin \psi$ au dénominateur.

On pourrait remédier à cet inconvénient en substituant directement la valeur de $\rho$ dans les expressions de $x,y$ du n^o 11, ce qui donnera

${\begin{aligned}x=&{\frac {\mathrm {N} }{\Delta \lambda }}(\lambda +g\cos \psi )+{\frac {\mathrm {C} }{{\sqrt {\Delta }}.\lambda }}\sin \psi ,\\y=&{\frac {\mathrm {M} }{\Delta \lambda }}(\lambda +g\cos \psi )+{\frac {\mathrm {B} }{{\sqrt {\Delta }}.\lambda }}\sin \psi ,\end{aligned}}$

et mettant ensuite ces valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation

${\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {R} .$

Mais il sera beaucoup plus simple, surtout dans le cas où l’excentricité et l’inclinaison sont fort petites (qui est celui de toutes les Planètes de notre système), d’employer d’abord dans cette même équation la substitution de

$x=r\cos q,\quad y=r\sin q,$