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13. Cette équation a donc lieu, en général, soit que les éléments de l’orbite soient invariables ou non ; et elle fait voir que les apsides de l’orbite sont rigoureusement dans les points dont les rayons vecteurs sont les racines de l’équation

$-\Delta \rho ^{2}-2g\rho -\Pi ^{2}=0\,;$

de sorte que ${\frac {g}{\Delta }},$ moitié de la somme des deux racines, sera la distance moyenne. C’est aussi ce qui résulte de l’expression même de $\Delta$ (11), en regardant l’orbite comme une ellipse dont ${\frac {\Pi ^{2}}{\rho }}$ est le paramètre et ${\frac {\lambda }{g}}$ l’excentricité (9).

14. Il ne reste donc plus qu’à intégrer l’équation trouvée, pour en déduire la valeur de $\rho$ en $t\,;$ c’est ce qui est facile dans le cas où les quantités $\Delta$ et $\Pi$ sont constantes. Car la quantité sous le signe peut sue mettre sous cette forme

${\frac {g^{2}}{\Delta }}-\Pi ^{2}-\Delta \left(\rho -{\frac {g}{\Delta }}\right)^{2},$

ou bien ${\biggl (}{\biggr .}$à cause de $\left.\Pi ^{2}={\frac {g^{2}-\lambda ^{2}}{\Delta }}\right)$ sous celle-ci

$\Delta \left[{\frac {\lambda ^{2}}{\Delta ^{2}}}-\left(\rho -{\frac {g}{\Delta }}\right)^{2}\right]\,;$

or on sait que

$-{\frac {d\rho }{\sqrt {{\cfrac {\lambda ^{2}}{\Delta ^{2}}}-\left(\rho -{\cfrac {g}{\Delta }}\right)^{2}}}}$

est l’élément de l’angle dont le cosinus est $\rho -{\frac {g}{\Delta }}$ divisé par ${\frac {\lambda }{\Delta }}\,;$ si donc on nomme $\psi ,$ cet angle, on aura

$\rho ={\frac {g+\lambda \cos \psi }{\Delta }},$

et l’équation dont il s’agit deviendra

$dt={\frac {(g+\lambda \cos \psi )d\psi }{\Delta ^{\frac {3}{2}}}},$