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en faisant, pour abréger,

$\Delta ={\frac {g^{2}-\lambda ^{2}}{\Pi ^{2}}}.$

Ces expressions de $x,y,z$ en $\rho$ sont les résultats des deux équations (C) et (F) combinées avec la formule

$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

($\rho$ étant le rayon vecteur) ; or, comme les quantités $\mathrm {L,M,N,P,Q,R}$ demeurent constantes dans la différentiation de ces équations (numéro précédent), il s’ensuit que, pour avoir les différences $dx,dy,dz,$ il suffira de faire varier dans les expressions précédentes la quantité $p,$ en regardant toutes les autres quantités comme constantes, telles qu’elles le seraient dans le cas de l’orbite invariable.

12. Puisqu’on a déjà $x,y,z$ en $\rho ,$ il ne s’agira plus que d’avoir $\rho$ en $t$ pour connaître le lieu du corps dans un instant quelconque. Pour cela on peut se servir d’une quelconque des intégrales trouvées (B) ou (E) : nous choisirons la première des intégrales (B), savoir

${\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {R} ,$

dont le premier membre, en y substituant les valeurs précédentes de $x,y$ et de leurs différentielles, et remarquant que (8)

${\begin{aligned}\mathrm {NB-MC} =&\mathrm {R\left(M^{2}+N^{2}\right)-L(NP-MQ)} \\=&\mathrm {R\left(L^{2}+M^{2}+N^{2}\right)-L(NP-MQ+LR)} \\=&\mathrm {R} \lambda ^{2},\end{aligned}}$

devient

$-{\frac {\mathrm {R} \rho d\rho }{dt{\sqrt {-\Delta \rho ^{2}+2g\rho -\Pi ^{2}}}}}\,;$

de sorte qu’on aura

$dt=-{\frac {\rho d\rho }{\sqrt {-\Delta \rho ^{2}+2g\rho -\Pi ^{2}}}}.$

Cette équation peut aussi se déduire directement des intégrales (B) et (E) sans aucune substitution auxiliaire.