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dans laquelle

$\rho ={\sqrt {\xi ^{2}+\xi ^{2}}},$

à cause de $\zeta =0,$ montre que cette courbe est une ellipse dans laquelle ${\frac {\Pi ^{2}}{g}}$ est le paramètre du grand axe, ${\frac {\lambda }{g}}$ est l’excentricité, ou la distance des foyers divisée par le grand axe, $\rho$ est le rayon vecteur partant de l’un des foyers, et $\xi$ l’abscisse prise sur le grand axe depuis le même foyer et dirigée vers l’apside supérieure.

Et pour connaître la position de cet axe relativement au plan de projection, il n’y a qu’à supposer, dans les formules (H), les coordonnées $\psi$ nulles, ce qui, à cause de $\zeta =0,$ donne

$x={\frac {\mathrm {N} }{\lambda }}\xi ,\quad y={\frac {\mathrm {M} }{\lambda }}\xi ,\quad z={\frac {\mathrm {L} }{\lambda }}\xi \,;$

or il est visible que, si l’on nomme $\varphi$ l’angle que la projection de cet axe sur le plan des coordonnées $x,y$ fait avec l’axe des $x,$ et $\eta$ l’angle que le même axe fait avec ce plan, on aura

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {y}{x}},\quad \operatorname {tang} \eta ={\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},$

c’est-à-dire

$\operatorname {tang} \varphi =\mathrm {\frac {M}{N}} ,\quad \operatorname {tang} \eta =\mathrm {\frac {L}{\sqrt {M^{2}+N^{2}}}} ,$

d’où, à cause de

$\lambda =\mathrm {\sqrt {L^{2}+M^{2}+N^{2}}} ,$

on tire

$\sin \eta ={\frac {\mathrm {L} }{\lambda }},\quad \cos \eta \sin \varphi ={\frac {\mathrm {M} }{\lambda }},\quad \cos \eta \cos \varphi ={\frac {\mathrm {N} }{\lambda }}.$

Au reste, si l’on substitue ces valeurs de $\mathrm {L,M,N} ,$ ainsi que celles de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ tirées des formules du n^o 5, dans l’équation de condition (G), on aura

$\theta \cos \eta (\cos \varphi \sin \omega -\sin \varphi \cos \omega )+\sin \eta =0\,;$

d’où résulte la formule

$\operatorname {tang} \eta =\theta \sin(\varphi -\omega ).$