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les ajoute ensemble après les avoir multipliées respectivement par $x,y,z\,;$ ce qui, à cause de

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

donne celle-ci

$g\rho =\mathrm {R} {\frac {xdy-ydx}{dt}}+\mathrm {Q} {\frac {xdz-zdx}{dt}}+\mathrm {P} {\frac {ydz-zdy}{dt}}+\mathrm {N} x+\mathrm {M} y+\mathrm {L} z\,;$

laquelle, en vertu des équations (B). devient

(F)

$g\rho =\mathrm {N} x+\mathrm {M} y+\mathrm {L} z+\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}} .$

Cette équation considérée sous cette forme est évidemment du second degré, à cause de

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,;$

de sorte qu’en la combinant avec l’équation linéaire (C), on aura pour la projection de l’orbite une section conique ; et l’orbite elle-même en sera une aussi, tant que les quantités $\mathrm {P,Q,R,L,M,N}$ seront constantes.

8. Pour déterminer dans ce cas la nature et la position de l’orhite, je commence par remarquer que des six constantes dont nous parlons il n’y en a que cinq d’arbitraires. Car, si l’on multiplie les équations intégrales (E) respectivement par $\mathrm {P,-Q,R} ,$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura, en vertu de l’équation déjà trouvée (C), celle-ci

(G)

$0=\mathrm {NP-MQ+LR} ,$

laquelle exprime un rapport général qui doit subsister entre les six quantités $\mathrm {P,Q,R,N,M,L} ,$ soit qu’elles soient constantes ou non.

Cela posé, je fais, pour abréger,

${\begin{aligned}\Pi ^{2}=&\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}} ,\\\lambda ^{2}=&\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} ,\end{aligned}}$

et, prenant trois autres quantités $\mathrm {A,B,C}$ telles que

$\mathrm {A=PM+QN,\quad B=RN-PL,\quad C=-RM-QL} ,$