Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/133

on aura les transformées suivantes

${\begin{aligned}gd{\frac {x}{\rho }}=&{\frac {\mathrm {R} d^{2}y+\mathrm {Q} d^{2}z}{dt}}+\mathrm {(RY+QZ)} dt,\\gd{\frac {y}{\rho }}=&{\frac {\mathrm {P} d^{2}z-\mathrm {R} d^{2}x}{dt}}+\mathrm {(PZ-RX)} dt,\\gd{\frac {z}{\rho }}=&-{\frac {\mathrm {Q} d^{2}x+\mathrm {P} d^{2}y}{dt}}-\mathrm {(QX+PY)} dt.\end{aligned}}$

Ces équations sont évidemment intégrables lorsque les forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z}$ sont nulles, auquel cas les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ deviennent constantes (3). Je fais donc, en général,

(D)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {(RY+QZ)} dt-{\frac {d\mathrm {R} dy+d\mathrm {Q} dz}{dt}}=d\mathrm {N} ,\\&\mathrm {(P\,Z-RX)} dt-{\frac {d\mathrm {P} dz-d\mathrm {R} dx}{dt}}=d\mathrm {M} ,\\-&\mathrm {(QX+PY)} dt+{\frac {d\mathrm {Q} dx+d\mathrm {P} dy}{dt}}=d\mathrm {L} ,\end{aligned}}\right.$

équations qui étant ajoutées respectivement aux précédéntes les rendent intégrables, en sorte qu’on aura les intégrales suivantes

(E)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {gx}{\rho }}=&{\frac {\mathrm {R} dy+\mathrm {Q} dz}{dt}}+\mathrm {N} ,\\{\frac {gy}{\rho }}=&{\frac {\mathrm {P} dz-\mathrm {R} dx}{dt}}+\mathrm {M} ,\\{\frac {gz}{\rho }}=&-{\frac {\mathrm {Q} dx+\mathrm {P} dy}{dt}}+\mathrm {L} .\end{aligned}}\right.$

Les constantes arbitraires que l’intégration introduit sont renfermées dans les quantités $\mathrm {L,M,N} ,$ lesquelles le deviennent elles-mêmes dans le cas où $\mathrm {X,Y,Z}$ sont nulles.

7. Les intégrales qu’on vient de trouver en donnent immédiatement une algébrique, en éliminant les différences $dx,dy,dz\,;$ et pour cela je