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formules différentielles (A) ; c’est le chemin que nous avons suivi dans le Mémoire sur les nœuds et les inclinaisons des Planètes, imprimé parmi ceux de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1774.

6. Pour déterminer les variations des autres éléments, il faut trouver de nouvelles intégrales des équations proposées, en sorte qu’on puisse en déduire l’équation algébrique de l’orbite. À cet effet je remarque que la différentiation des quantités ${\frac {x}{\rho }},{\frac {y}{\rho }},{\frac {z}{\rho }},$ dans lesquelles

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

donne ces formules

${\begin{aligned}d{\frac {x}{\rho }}=&{\frac {y(ydx-xdy)+z(zdx-xdz)}{\rho ^{3}}},\\d{\frac {y}{\rho }}=&{\frac {x(xdy-ydx)+z(zdy-ydz)}{\rho ^{3}}},\\d{\frac {z}{\rho }}=&{\frac {x(xdz-zdx)+y(ydz-zdy)}{\rho ^{3}}}.\end{aligned}}$

Or, par les équations (B), on a déjà

$ydx-xdy=-\mathrm {R} dt,\quad zdx-xdz=-\mathrm {Q} dt,\quad zdy-ydz=-\mathrm {P} dt\,;$

donc on aura

${\begin{aligned}d{\frac {x}{\rho }}=&-{\frac {\mathrm {R} y+\mathrm {Q} z}{\rho ^{3}}}dt,\\d{\frac {y}{\rho }}=&{\frac {\mathrm {R} x-\mathrm {P} z}{\rho ^{3}}}dt,\\d{\frac {z}{\rho }}=&{\frac {\mathrm {Q} x+\mathrm {P} y}{\rho ^{3}}}dt.\end{aligned}}$

Si maintenant, dans ces équations multipliées par $g,$ on substitue à la place des quantités ${\frac {gx}{\rho ^{3}}},{\frac {gy}{\rho ^{3}}},{\frac {gz}{\rho ^{3}}}$ leurs valeurs tirées des équations différentielles données, savoir (2)

$-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\mathrm {X} ,\quad -{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-\mathrm {Y} ,\quad -{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-\mathrm {Z} ,$