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cherche présente ; ainsi l’on aura dans les équations différentielles ci-dessus

${\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta y}}=-{\frac {d\Pi }{dr}},\quad {\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta r}}={\frac {d\Pi }{dr}}-y{\frac {d^{2}\Pi }{dr^{2}}},$

où l’on pourra négliger encore le terme $y{\frac {d^{2}\Pi }{dr^{2}}},$ parce que nous faisons abstraction, dans la valeur de $r,$ des termes venant des inégalités du mouvement de la Lune autour de la Terre.

110. Ces équations seront donc par ces substitutions

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {2dy}{dt}}-3\left(1+{\frac {n^{2}}{2}}\right)x=0,\ \ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {2dx}{dt}}-{\frac {d\Pi }{mdr}}=0,\ \ \Lambda {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {d\Pi }{dr}}=0.$

Substituant dans la seconde la valeur de ${\frac {d\Pi }{dr}}$ tirée de la troisième, on aura donc ces deux-ci

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {2dy}{dt}}-3\left(1+{\frac {n^{2}}{2}}\right)x=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {2dx}{dt}}+\Delta {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=0,$

à cause de ${\frac {\Lambda }{m}}=\Delta .$

Je suppose maintenant

$y=\mathrm {P} r,\quad x=\mathrm {Q} {\frac {dr}{dt}}$

($\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des constantes) ; on aura par ces substitutions

$\mathrm {Q} \left[{\frac {d^{3}r}{dt^{3}}}-3{\frac {dr}{dt}}\left(1+{\frac {n^{2}}{2}}\right)\right]-{\frac {2\mathrm {P} dr}{dt}}=0,\quad (\mathrm {P+2Q} +\Delta ){\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=0\,;$

mais $r$ étant (hypothèse) exprimé par des sinus d’angles qui croissent très-lentement, il est visible que ${\frac {d^{3}r}{dt^{3}}}$ sera une quantité beaucoup plus petite que ${\frac {dr}{dt}}\,;$ ainsi négligeant ${\frac {d^{3}r}{dt^{3}}}$ vis-à-vis de ${\frac {dr}{dt}},$ on aura ces deux équations

$-3\mathrm {Q} \left(1+{\frac {n^{2}}{2}}\right)-2\mathrm {P} =0,\quad \mathrm {P+2Q} +\Delta =0\,;$