Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/120

les valeurs trouvées, dans la Section précédente, pour les quantités $e,\mathrm {M,N} ,$ que ces équations doivent être tout à fait insensibles.

109. Comme l’équation proportionnelle à l’angle $r$ de la libration serait très-propre à expliquer l’équation séculaire de Mayer, si elle avait un coefficient assez considérable pour cela, il est bon de calculer ce coefficient avec plus d’exactitude, d’autant plus que, recevant de l’intégration un diviseur très-petit, il ne serait pas impossible qu’il eût à la seconde approximation une valeur assez différente de ce qu’elle est à la première.

Je reprends pour cela les deux équations en $x$ et $y$ du n^o  104, mais je remets dans la seconde, à la place du terme $-{\frac {3\mathrm {(B-C)} }{m}}r,$ la quantité ${\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta y}}$ qui l’a produit ; j’aurai ainsi

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {2dy}{dt}}-3\left(1+{\frac {n^{2}}{2}}\right)x=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {2dx}{dt}}+{\frac {1}{m}}{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta y}}=0.\end{aligned}}$

Je reprends de même l’équation en $r$ du n^o  75, et je la remets sous sa forme primitive (71)

$\mathrm {A} {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {\delta \mathrm {V} ''}{\delta r}}=0\,;$

et il ne s’agira que d’avoir égard dans l’expression de $\mathrm {V} ''$ aux termes qui contiennent $r^{2}$ et $ry.$

Or on voit par les formules des n^os 54 et précédents que la quantité $\mathrm {V} ''$ n’est autre chose que la partie de la quantité $-f\mathbf {S} {\frac {dm}{p}},$ où entrent les quantités, $\lambda ,\mu ,\nu ,$ $p$ étant égal à

${\sqrt {(1+x-\lambda )^{2}+(y-\mu )^{2}+(z-\nu )^{2}}}.$

Ainsi, comme on ne veut avoir égard qu’aux termes qui peuvent renfermer $r^{2}$ et $yr,$ on pourra d’abord réduire la valeur de $p$ à celle-ci

${\sqrt {1-2\lambda -2\mu y+\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}}},$