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substituant pour ${\frac {d\mu }{dt}}$ et ${\frac {d\nu }{dt}}$ leurs valeurs $1+{\frac {3e}{2}}$ et $2{\sqrt {ei}},$

$\mathrm {G} ={\frac {4\Delta e\mathrm {M} }{e-n^{2}}},\quad \mathrm {H} =6\Delta e\mathrm {N} ,$ à très-peu près.

107. Si donc on dénote par $x',y',z'$ les parties des valeurs de $x,y,z$ qui résultent des termes proportionnels à $\sin \lambda ,\sin \mu ,\sin \nu ,$ et dus à la non-sphéricité de la Lune, on aura

${\begin{aligned}x'=&-2\Delta \mathrm {L} {\sqrt {3(e-i)}}\cos \lambda ,\\y'=&3\Delta \mathrm {L} \sin \lambda ,\\z'=&{\frac {4\Delta e\mathrm {M} }{e-n^{2}}}\sin \mu +6\Delta e\mathrm {N} \sin \nu .\end{aligned}}$

Ainsi il faudra ajouter ces quantités $x',y',z'$ aux expressions de $x,y,z$ données par M. Euler dans sa Théorie de la Lune, pour avoir les valeurs complètes de ces variables. Mais pour mieux connaître l’effet des quantités dont il s’agit, dans le mouvement de la Lune, nous remarquerons que nommant $\rho$ la distance de la Lune à la Terre, réduite à l’écliptique, $\sigma$ sa longitude vraie et $\upsilon$ sa latitude, on a

$1+x=\rho \cos(\sigma -t),\quad y=\rho \sin(\sigma -t),\quad z=\rho \operatorname {tang} \upsilon \,;$

d’où l’on tire

$\rho ={\sqrt {(1+x)^{2}+y^{2}}},\quad \operatorname {tang} (\sigma -t)={\frac {y}{1+x}},\quad \operatorname {tang} \upsilon ={\frac {z}{\sqrt {(1+x)^{2}+y^{2}}}}.$

De sorte que, si l’on désigne par $\rho ',\sigma ',\upsilon '$ les petites parties des valeurs de $\rho ,\sigma ,\upsilon$ dues aux parties $x',y',z'$ des valeurs de $x,y,z,$ on trouvera

$\rho '=x',\quad \sigma '=y',\quad \upsilon '=z'$

à très-peu près, à cause de la petitesse de $x,y,z$ vis-à-vis de l’unité, et de $x',y',z'$ vis-à-vis de $x,y,z.$

D’où il s’ensuit que $x'$ exprimera l’altération de la distance de la Lune à la Terre, $y'$ l’altération de la longitude de la Lune, et $z'$ l’altération de la latitude de cette Planète.