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De plus, comme nous avons déjà fait (90)

$\mathrm {\frac {B-C}{A}} =e-i\quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {A-C}{A}} =e,$

on mettra $\mathrm {A} (e-i)$ à la place de $\mathrm {B} -\mathrm {C}$ et $\mathrm {A} e$ à la place de $\mathrm {A-C} \,;$ et, faisant pour plus de simplicité

${\frac {\mathrm {A} }{m}}=\Delta ,$

on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {2dy}{dt}}-3\left(1+{\frac {n^{2}}{2}}\right)x=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {2dx}{dt}}-3\Delta (e-i)\mathrm {L} \sin \lambda =0,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\left(1+{\frac {3n^{2}}{2}}\right)z+6\Delta e\mathrm {(M\sin \mu +N\sin \nu )} =0.\end{aligned}}$

Dans ces équations les angles $\lambda ,\mu ,\nu$ croissent uniformément, et l’on a (75, 90)

${\frac {d\lambda }{dt}}={\sqrt {3(e-i)}},\quad {\frac {d\mu }{dt}}=1+{\frac {3e}{2}},\quad {\frac {d\nu }{dt}}=2{\sqrt {ei}}\,;$

les constantes $e$ et $i$ dépendent de la figure de la Lune et sont inconnues, mais très-petites et positives ; $e$ doit être renfermée entre les limites $0{,}000\,674\,6$ et $0{,}000\,514\,9,$ et $i$ doit être $<e\,;$ les constantes $\mathrm {L,M,N}$ sont encore indéterminées, mais doivent être aussi fort petites ; la constante dépend aussi de la figure de la Lune et est pareillement inconnue, mais très-petite et positive ; si la Lune était homogène et à très-peu près sphérique, on aurait à très-peu près $\Delta ={\frac {2h^{2}}{5}}$ (63), $h$ étant le demi-diamètre apparent de la Lune, lequel est égal à ${\frac {3}{11\times 60}}\,;$ mais si la Lune n’est pas homogène, alors la valeur de $\Delta$ sera différente, mais sera nécessairement $<4h^{2}<{\frac {1}{12100}}$ (70).

106. Pour intégrer ces équations on remarquera que, comme on ne demande pas les valeurs complètes de $x,y,z,$ mais seulement les parties