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ces logarithmes peuvent se réduire en séries convergentes, puisque (hypothèse) $\mathrm {Q}$ est plus grande que la somme des coefficients $\mathrm {M} ,p\mathrm {N} ,q\mathrm {N}$ pris positivement ; et l’on aura, en substituant les sinus correspondants aux exponentielles imaginaires,

{\begin{aligned}{\text{ϐ}}=&\mathrm {\frac {M}{Q}} \sin(\mu -\beta )+{\frac {p\mathrm {N} }{\mathrm {Q} }}\sin(\nu -\beta )+{\frac {q\mathrm {N} }{\mathrm {Q} }}\sin(\nu +\beta )\\&-\mathrm {\frac {M^{2}}{2Q^{2}}} \sin 2(\mu -\beta )-{\frac {p\mathrm {MN} }{\mathrm {Q} ^{2}}}\sin(\nu +\nu -2\beta )-{\frac {p^{2}\mathrm {N} ^{2}}{2\mathrm {Q} ^{2}}}\sin 2(\nu -\beta )+\ldots .\end{aligned}}

96. Considérons maintenant l’inclinaison de l’équateur lunaire sur l’écliptique ; pour en déterminer la valeur, il n’y aura qu’à ajouter ensemble les carrés des deux équations du n^o 93 ; on aura

{\begin{aligned}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}=&\left[\mathrm {M} \sin(\mu -\beta )+p\mathrm {N} \sin(\nu -\beta )+q\mathrm {N} \sin(\nu +\beta )\right]^{2}\\&+\left[\mathrm {M} \cos(\mu -\beta )+p\mathrm {N} \cos(\nu -\beta )+q\mathrm {N} \cos(\nu +\beta )+\mathrm {Q} \right]^{2},\end{aligned}}

savoir, en développant les termes, et réduisant les produits des sinus et cosinus en cosinus simples,

{\begin{aligned}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}=&\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+p^{2}\mathrm {N} ^{2}+q^{2}\mathrm {N} ^{2}\\+&2\mathrm {QM} \cos(\mu -\beta )+2p\mathrm {QN} \cos(\nu -\beta )\\+&2q\mathrm {QN} \cos(\nu +\beta )+2p\mathrm {MN} \cos(\mu -\nu )\\+&2q\mathrm {MN} \cos(\mu -\nu -2\beta )+2pq\mathrm {N} ^{2}\cos 2\beta .\end{aligned}}

97. Les termes constants

\mathrm {Q^{2}+M^{2}} +\left(p^{2}+q^{2}\right)\mathrm {N} ^{2}

donnent la valeur moyenne de $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}},$ laquelle est à peu près connue par les observations, et que nous pouvons supposer comme ci-dessus (88) égale à $\operatorname {tang} ^{2}(1^{\circ }).$

Mais si l’on suppose, pour plus de généralité, que la valeur moyenne de $\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}$ soit égale à $k,$ on aura (93)

k^{2}=\mathrm {Q^{2}+M^{2}} +\left(p^{2}+q^{2}\right)\mathrm {N} ^{2}=\mathrm {Q^{2}+M^{2}} +\left({\frac {1}{2}}+{\frac {2e}{i}}\right)\mathrm {N} ^{2}.