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positivement) pour que $\varphi -\beta$ soit toujours un angle assez petit ou du moins au-dessous de $90$ degrés, comme les observations le demandent ; or comme les constantes $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont arbitraires, cette dernière condition est toujours facile à remplir, et l’on doit la regarder comme une donnée fournie par les observations.

95. Soit, pour abréger, $\varphi -\beta ={\text{ϐ}},$ en sorte que $\varphi =\beta +{\text{ϐ}}\,;$ on aura (85) $t-\beta -{\text{ϐ}}+r$ pour la longitude du nœud descendant de l’équateur lunaire, mais $t-\beta$ est le lieu moyen du nœud ascendant de l’orbite ; donc, pour avoir le lieu vrai du nœud descendant de l’équateur, il n’y aura qu’à corriger le lieu moyen du nœud ascendant de l’orbite par les équations $r-{\text{ϐ}},$ $r$ étant la libration réelle de la Lune, et ${\text{ϐ}}$ un angle toujours au-dessous de $90$ degrés, déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} {\text{ϐ}}={\frac {\mathrm {M} \sin(\mu -\beta )+p\mathrm {N} \sin(\nu -\beta )+q\mathrm {N} \sin(\nu +\beta )}{\mathrm {Q} +\mathrm {M} \cos(\mu -\beta )+p\mathrm {N} \cos(\nu -\beta )+q\mathrm {N} \cos(\nu +\beta )}}.$

Comme la valeur de $\mathrm {Q}$ est supposée plus grande que la somme de $\mathrm {M} ,p\mathrm {N} ,$$q\mathrm {N} ,$ on pourra, si l’on veut, réduire le dénominateur du second membre de cette équation en une série convergente ; de plus, comme ${\text{ϐ}}$ est au-dessous de $90$ degrés, on pourra réduire aussi $\operatorname {tang} {\text{ϐ}}$ en série et de là on pourra déduire la valeur même de l’angle ${\text{ϐ}}$ exprimée par une suite de différents sinus ; mais on peut trouver directement cette série par la méthode que j’ai donnée dans les Mémoires de cette Académie de 1776, et que j’avais déjà employée avec succès dans mes Recherches sur le mouvement des nœuds des Planètes^[1].

Suivant cette méthode, on aura

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}=&{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log {\frac {1+\operatorname {tang} {\text{ϐ}}{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} {\text{ϐ}}{\sqrt {-1}}}}\\=&{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log \left(1+{\frac {\mathrm {M} e^{(\mu -\beta ){\sqrt {-1}}}+p\mathrm {N} e^{(\nu -\beta ){\sqrt {-1}}}+q\mathrm {N} e^{(\nu +\beta ){\sqrt {-1}}}}{\mathrm {Q} }}\right)\\&-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\log \left(1+{\frac {\mathrm {M} e^{-(\mu -\beta ){\sqrt {-1}}}+p\mathrm {N} e^{-(\nu -\beta ){\sqrt {-1}}}+q\mathrm {N} e^{-(\nu +\beta ){\sqrt {-1}}}}{\mathrm {Q} }}\right)\,;\end{aligned}}$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 275.