Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 5.djvu/104

Substituant ces valeurs dans les expressions de $\mathrm {M} '$ et de $\mathrm {N} '$ du même n^o 83, on aura (à cause de la petitesse de $e$ et $i$)

$\mathrm {M'=M,\quad N'=-2N} {\sqrt {\frac {e}{i}}}$ à très-peu près.

Mais, en général, quelles que soient la figure de la Lune et sa constitution intérieure, nous pouvons toujours supposer

$\mathrm {\frac {A-C}{A}} =e,$

$e$ étant un nombre très-petit par le n^o 88 ; d’ailleurs on a déjà (81)

$\mathrm {\frac {B-C}{A}} =e-i,$

$e-i$ étant une quantité positive et fort petite ; donc on aura

$\mathrm {\frac {A-B}{A}} =i,$

et par conséquent

$\mathrm {B=A} (1-i),\quad \mathrm {C=A} (1-e),$

$e$ et $i$ étant des quantités très-petites, et ces valeurs étant substituées dans l’équation en donneront les mêmes résultats que ci-dessus ; en sorte que ces résultats seront de cette manière indépendants de la figure de la Lune.

91. De ce que nous venons de démontrer il s’ensuit donc que les valeurs de $s$ et $u,$ c’est-à-dire de $\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\sin \varphi$ et $\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\cos \varphi ,$ se réduisent à cette forme

${\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\sin \varphi =&\mathrm {M} \sin \mu +\mathrm {N} \sin \nu +\mathrm {Q} \sin \beta ,\\\operatorname {tang} {\frac {\omega }{2}}\cos \varphi =&\mathrm {M} \cos \mu -2\mathrm {N} {\sqrt {\frac {e}{i}}}\cos \nu +\mathrm {Q} \cos \beta ,\end{aligned}}$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant deux coefficients arbitraires, $\mu$ et $\nu$ étant deux angles tels que

${\frac {d\mu }{dt}}=1+{\frac {3e}{2}},\quad {\frac {d\nu }{dt}}=2{\sqrt {ei}},$