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sant, pour abréger, $f(a,b,c,g,h)=\mathrm {F} ,$

$\left(x+{\frac {d\mathrm {F} }{da}}\right)da+\left(y+{\frac {d\mathrm {F} }{db}}\right)db$

$+\left(x^{2}+{\frac {d\mathrm {F} }{dc}}\right)dc+\left(xy+{\frac {d\mathrm {F} }{dg}}\right)dg+\left(y^{2}+{\frac {d\mathrm {F} }{dh}}\right)dh=0.$

$da+2xdc+ydg=0,\quad db+2ydh+xdg=0.$

Mettant dans la première équation les valeurs de $da$ et $db$ tirées de ces deux dernières, et égalant ensuite à zéro les coefficients des différences $dc,dh,dg,$ on aura ces trois équations

${\frac {d\mathrm {F} }{dc}}-2x{\frac {d\mathrm {F} }{da}}-x^{2}=0,\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dh}}-2y{\frac {d\mathrm {F} }{db}}-y^{2}=0,$

${\frac {d\mathrm {F} }{dg}}-x{\frac {d\mathrm {F} }{db}}-y{\frac {d\mathrm {F} }{da}}-xy=0,$

à l’aide desquelles et des équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dz}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dz}{dy}}-q=0$

on éliminera les cinq quantités $a,b,c,g,h\,;$ et la résultante sera l’intégrale particulière aux premières différences de l’équation dont il s’agit.

60. Soit à présent $\mathrm {Z} =0$ une équation entre les variables finies $x,y,z$ et les différences partielles du premier ordre ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}$ dans laquelle entrent deux constantes arbitraires $a$ et $b\,;$ on pourra en déduire par la différentiation une équation aux différences partielles du second ordre dans laquelle les deux constantes $a$ et $b$ ne se trouveront plus. Car, si l’on fait varier successivement $x$ et $y,$ on aura les deux équations

${\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {Z} }{dy}}=0,$

à l’aide desquelles on pourra éliminer dans la proposée $\mathrm {Z} =0$ les deux constantes $a$ et $b\,;$ et l’équation résultante sera entre les variables $x,y,z$ et leurs différences partielles ${\frac {dz}{dx}},\ {\frac {dz}{dy}},\ {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\,;$ nous la designerons, en général, par $\mathrm {Z} '=0.$