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dont l’intégrale complète sera

$z=ax+by+cx^{2}+gxy+hy^{2}+f(a,b,c,g,h),$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque de cinq quantités.

59. En suivant les principes établis dans ce Mémoire, il est facile de démontrer que pour avoir l’intégrale particulière d’une équation à différences partielles du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ dont on connaît l’intégrale finie complète $\mathrm {V} =0,$ il n’y aura qu’à faire varier, tant dans la quantité $\mathrm {V}$ que dans les deux quantités $p$ et $q$ des équations

${\frac {dz}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dz}{dy}}-q=0,$

les cinq constantes arbitraires $a,b,c,g,h,$ et supposer les différences de ces trois quantités $\mathrm {V} ,p,q$ nulles ; ce qui donnera trois équations qui contiendront les cinq différentielles $da,db,dc,dg,dh$ sous une forme linéaire ; on éliminera deux de ces différentielles, et l’on fera ensuite évanouir séparément dans l’équation résultante les coefficients des trois différentielles restantes ; on aura ainsi trois équations de condition qui étant combinées avec les trois équations

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dz}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dz}{dy}}-q=0$

donneront, par l’élimination des cinq quantités $a,b,c,g,h,$ une équation à différences partielles du premier ordre, laquelle sera l’intégrale particulière aux premières différences de la proposée $\mathrm {Z} '=0$ du second ordre.

Par exemple, l’équation différentio-différentielle du numéro précédent donne

$\mathrm {V} =-z+ax+by+cx^{2}+gxy+hy^{2}+f(a,b,c,g,h),$

$p=a+2cx+gy,\quad q=b+2hy+gx\,;$

donc les équations de condition de l’intégrale particulière seront, en fai-