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liées entre elles, en sorte que dès qu’on en connaît une on peut en déduire toutes les autres, puisqu’il n’y a qu’à chercher d’abord, par notre méthode, l’intégrale générale, et ensuite donner à la fonction indéterminée des valeurs particulières.

57. Nous allons maintenant considérer les équations à différences partielles du second ordre ; et nous remarquerons d’abord que si $\mathrm {V} =0$ est une équation finie entre les trois variables $x,y,z$ et cinq constantes $a,b,c,h,g,$ on pourra en déduire une équation aux différences partielles du second ordre dans laquelle ces constantes ne se trouveront plus. Car, en regardant $z$ comme une fonction de $x$ et $y$ et faisant varier successivement ces deux quantités dans l’équation donnée, on en tirera par une double différentiation ces cinq équations-ci

${\frac {dz}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dz}{dy}}-q=0,$

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-r=0,\quad {\frac {d^{2}z}{dxdy}}-s=0,\quad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}-t=0,$

$p,q$ étant des fonctions connues de $x,y,z$, et $r,s,t$ des fonctions aussi connues de $x,y,z,{\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}.$ Si donc au moyen de ces cinq équations différentielles et de l’équation finie $\mathrm {V} =0$ on élimine les cinq constantes $a,b,c,$$h,g,$ on aura une équation finale entre les quantités

$x,\ \ y,\ \ z,\ \ {\frac {dz}{dx}},\ \ {\frac {dz}{dy}},\ \ {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\ \ {\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ \ {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}},$

dans laquelle les constantes dont il s’agit ne se trouveront plus, et que nous représenterons, en général, par $\mathrm {Z} '=0.$

On pourra donc regarder l’équation $\mathrm {V} =0$ comme l’intégrale finie et complète de l’équation aux différences partielles du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ et comme les cinq constantes $a,b,c,g,h$ demeurent arbitraires, il s’ensuit que l’intégrale finie et complète de toute équation aux différences partielles du second ordre doit renfermer cinq constantes arbitraires.