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Qu’on substitue partout dans cette équation à la place de $q$ sa valeur en $p$ et $\alpha ,$ on aura une équation entre les trois variables $r,p,\alpha ,$ laquelle, en supposant $\alpha$ constante, sera

$-dr=\mathrm {Z} dp\,;$

qu’on intègre donc cette équation entre les deux variables $r$ et $p,$ et soit $\mathrm {R} =0$ l’intégrale, dans laquelle on pourra supposer que la constante arbitraire soit une fonction quelconque indéterminée de $\alpha \,;$ faisant ensuite varier dans l’équation $\mathrm {R} =0$ les trois quantités $r,p$ et $\alpha$ à la fois, il viendra

$dr=-\mathrm {Z} dp+\mathrm {Q} d\alpha ,$

$\mathrm {Q}$ étant une fonction connue de $r,p,\alpha \,;$ donc, substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, on aura

$-\mathrm {Q} d\alpha =y\mathrm {A} d\alpha ,\quad {\text{d’où}}\quad \mathrm {A} y+\mathrm {Q} =0.$

On a donc ainsi deux équations finies

$\mathrm {R} =0,\quad \mathrm {A} y+\mathrm {Q} =0$

entre les quantités $p,q,\alpha ,y\,;$ et, comme $\alpha$ est donnée par une fonction connue de $p$ et $q,$ substituant cette valeur de $\alpha ,$ on aura deux équations entre les trois quantités $p,q$ et $y,$ à l’aide desquelles on pourra éliminer $p$ et $q,$ c’est-à-dire ${\frac {dz}{dx}}$ et ${\frac {dz}{dy}},$ dans l’équation proposée

$x=\mathrm {V} y+\mathrm {Z} \,;$

et l’équation résultante sera l’intégrale générale de cette même équation, puisqu’elle contient déjà une fonction indéterminée.

54. Soit enfin l’équation

${\frac {dz}{dx}}=\mathrm {V} y+\mathrm {Z} ,$