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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
Ensuite la valeur de la pression
se réduira à
(33) ; et il faudra négliger dans l’expression de
les quantités du second ordre et dans celle de
les quantités du premier. Ainsi, à cause de
![{\displaystyle \cos \xi =0,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83a2061a7baec2f2bccd9f955330d51a846fa0c)
on aura par les formules du même numéro
![{\displaystyle \Pi '=-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2},\quad \Pi ''=g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b9c7b738e7b640cbec3032a892712b0d802f53)
On aura donc (35) pour la surface supérieure du fluide l’équation
![{\displaystyle \Pi '+gz=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6776bfaba9a278d97c4c6fa1ceab41a3c5d3b926)
et ensuite cette équation de condition
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+g\varphi ''-gz\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e07319d93d73ea08452ee004cd67afda62e492)
46. L’équation
donne sur-le-champ
![{\displaystyle z=-{\frac {\Pi '}{g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900da57173de32de004c804c296007179221d548)
pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant ; et comme l’équation de condition doit avoir lieu relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à
cette même valeur
Cette équation deviendra donc par là de cette forme
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}+g\varphi ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9dc471842abc259ff737cfda4da2885811a1534)
et substituant encore pour
sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right]}{dx}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right]}{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ca0cc1320d61e7cf11c25d25d919e7b2b0697e)
dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de
sa valeur
![{\displaystyle -{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cde9798b40af9bebd9d98ea383bdf383afe374)