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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

teur. Ici les particules des surfaces supérieure et inférieure se renouvellent continuellement ; par conséquent on aura simplement pour ces deux surfaces les équations

$\Pi '=0,\quad \Pi ''=0\ ;$

mais en même temps les deux abscisses $x'$ et $x''$ seront données et constantes, en sorte qu’il n’y aura que les deux inconnues $\theta$ et $\vartheta$ à déterminer en $t.$

Soient donc

$x'=f,\quad \lambda '=h,\quad \int {\frac {dx'}{\lambda '}}=n,\quad x''=\mathrm {F} ,\quad \lambda ''=\mathrm {H} ,\quad \int {\frac {dx''}{\lambda ''}}=\mathrm {N} \ ;$

les deux équations $\Pi '=0,$ $\Pi ''=0$ deviendront

${\begin{aligned}&gf-{\frac {d\theta }{dt}}n-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2h^{2}}}=0,\\&g\mathrm {F} -{\frac {d\theta }{dt}}\mathrm {N} -{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\mathrm {H} ^{2}}}=0,\end{aligned}}$

d’où chassant ${\frac {d\vartheta }{dt}},$ on aura

$g\left(\mathrm {F} -f\right)-\left(\mathrm {N} -n\right){\frac {d\theta }{dt}}-\left({\frac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\frac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}=0,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {\left(\mathrm {N} -n\right)d\theta }{g\left(\mathrm {F} -f\right)-\left({\dfrac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\dfrac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}}},$

équation séparée et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes.

44. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers Auteurs, qui ont écrit sur le mouvement des fluides dans des vases, ont trouvées d’après la supposition que les différentes tranches du fluide conservent exactement leur parallélisme en descendant dans le vase. (Voyez l’Hydrodynamique de M. Daniel Bernoulli, l’Hydraulique de Jean Bernoulli, et le Traité des fluides de M. d’Alembert.) Notre Théorie fait voir que cette supposition n’est exacte et rigoureuse que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu’elle peut être employée dans