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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Donc, retranchant de celle-ci l’équation précédente pour en éliminer le terme $\theta d\vartheta ,$ on aura

$g\left(f-x'\right)\lambda 'dx'-\left(n-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}\right)\theta d\theta -\left({\frac {\lambda '}{2h^{2}}}-{\frac {1}{2\lambda '}}\right)\theta ^{2}dx'=0,$

équation qui ne contient que les deux variables $x'$ et $\theta ,$ et par laquelle on pourra donc déterminer une de ces variables en fonction de l’autre.

Ensuite on aura $t$ exprimé par la même variable en intégrant l’équation

$dt={\frac {\lambda 'dx'}{\theta }}.$

Et l’on déterminera les constantes par l’état initial du fluide, comme dans le Problème précédent.

42. Le troisième cas a lieu lorsqu’un fluide coule dans un vase indéfini, mais qui est entretenu toujours plein à la même hauteur par de nouveau fluide qu’on y verse continuellement. Ce cas est l’inverse du précédent car on aura ici pour la surface inférieure les deux équations

$\Pi ''=0,\quad {\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0,$

et pour la surface supérieure on aura la simple équation $\Pi '=0,$ à cause du changement continuel des particules de cette surface. Ainsi il n’y aura qu’à changer dans les équations du numéro précédent les quantités $x',$ $\lambda '$ en $x'',$ $\lambda '',$ et prendre pour $f,$ $h,$ $n$ les valeurs données de $x',$ $\lambda ',$ $\textstyle \int {\dfrac {dx'}{\lambda '}}.$

Au reste nous supposons ici que l’addition du nouveau fluide se fait de manière que chaque couche nouvelle prend d’abord la vitesse de celle qui la suit immédiatement, et qu’ainsi l’augmentation ou la diminution de vitesse de cette couche pendant le premier instant est la même que si le vase n’était pas entretenu plein à la même hauteur durant cet instant.

43. Enfin le dernier cas est celui où le fluide sort d’un vase de longueur déterminée, et qui est entretenu toujours plein à la même hau-