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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
Ainsi le Problème est résolu et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.
41. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée
et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas on aura, comme
dans le précédent, pour la surface supérieure les deux équations
![{\displaystyle \Pi '=0,\quad {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d12fe7cf756d8a8ce7f1fb5f6976977a465b3f)
mais pour la surface inférieure on aura simplement l’équation
puisqu’à cause de l’écoulement du fluide il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais d’un autre côté l’abscisse
pour cette même surface sera donnée et constante ; de sorte qu’il n’y aura plus que trois inconnues à déterminer,
et ![{\displaystyle \vartheta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc50a330e6d40f6e3e8e10945d479001da007d96)
Les deux premières équations donneront d’abord, comme dans le Problème
précédent, celles-ci
![{\displaystyle dt={\frac {\lambda 'dx'}{\theta }},\quad g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{\alpha \lambda '}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba0f3b5a81826907e979368ce72b253915d7898)
Ensuite l’équation
donnera (39)
![{\displaystyle gx''-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ''^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb59c4e017a39fca16e0b20d77dcfe5bbf90c3ff)
où l’on remarquera que
et
sont des constantes que nous dénoterons pour plus de simplicité par
Ainsi, en substituant à
sa valeur
multipliant ensuite par
on aura l’équation
[1]
- ↑ Lagrange a écrit ici, par inadvertance,
au lieu de
Cette faute qui rejaillit sur l’équation suivante se retrouve dans les deux dernières éditions de la Mécanique analytique, où l’illustre Auteur a reproduit le présent Mémoire. Nous avons cru devoir rétablir l’exactitude des formules.
(Note de l’Éditeur.)