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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Ainsi le Problème est résolu et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.

41. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas on aura, comme dans le précédent, pour la surface supérieure les deux équations

\Pi '=0,\quad {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0\ ;

mais pour la surface inférieure on aura simplement l’équation $\Pi ''=0,$ puisqu’à cause de l’écoulement du fluide il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais d’un autre côté l’abscisse $x''$ pour cette même surface sera donnée et constante ; de sorte qu’il n’y aura plus que trois inconnues à déterminer, $x',$ $\theta$ et $\vartheta .$

Les deux premières équations donneront d’abord, comme dans le Problème précédent, celles-ci

dt={\frac {\lambda 'dx'}{\theta }},\quad g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{\alpha \lambda '}}=0.

Ensuite l’équation $\Pi ''=0$ donnera (39)

gx''-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ''^{2}}}=0,

où l’on remarquera que $x'',$ $\lambda ''$ et $\textstyle \int {\frac {dx''}{\lambda ''}}$ sont des constantes que nous dénoterons pour plus de simplicité par $f,$ $h,$ $n.$ Ainsi, en substituant à $dt$ sa valeur ${\frac {\lambda 'dx'}{\theta }},$ multipliant ensuite par $\lambda 'dx',$ on aura l’équation

gf\lambda 'dx'-n\theta d\theta -\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}\lambda 'dx'}{2h^{2}}}=0.

^[1]

↑ Lagrange a écrit ici, par inadvertance, $-{\frac {\theta ^{2}dx'}{2h}}$ au lieu de $-{\frac {\theta ^{2}\lambda 'dx'}{2h^{2}}}.$ Cette faute qui rejaillit sur l’équation suivante se retrouve dans les deux dernières éditions de la Mécanique analytique, où l’illustre Auteur a reproduit le présent Mémoire. Nous avons cru devoir rétablir l’exactitude des formules. $\qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)

[1] Lagrange a écrit ici, par inadvertance, $-{\frac {\theta ^{2}dx'}{2h}}$ au lieu de $-{\frac {\theta ^{2}\lambda 'dx'}{2h^{2}}}.$ Cette faute qui rejaillit sur l’équation suivante se retrouve dans les deux dernières éditions de la Mécanique analytique, où l’illustre Auteur a reproduit le présent Mémoire. Nous avons cru devoir rétablir l’exactitude des formules. $\qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)

[1]