Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/741

Cette page a été validée par deux contributeurs.
739
DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Donc, retranchant ces deux équations l’une de l’autre pour en éliminer le terme on aura celle-ci

dans laquelle les quantités

et

expriment les intégrales de et de prises depuis jusqu’à et où est une constante arbitraire.

Cette équation donnera en puisque est déjà connue en par l’équation trouvée plus haut. Ayant ainsi en on trouvera aussi en par l’équation

dont l’intégrale est

étant une constante arbitraire.

À l’égard des deux constantes et on les déterminera par l’état initial du fluide. Car, lorsque la valeur de sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase ; et, si l’on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra qu’on ait lorsque (38). Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs des pressions et seraient données lorsque Or on a (39)

donc on aura (en faisant ) une équation qui servira à déterminer la valeur initiale de