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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
On trouvera de même, en combinant l’autre équation
avec la seconde équation de condition, celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dx''}{dt}}={\frac {\theta }{\lambda ''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767d5bafdc0f66b05791d1fd85fc17ecb0e3d574)
De sorte qu’on aura
![{\displaystyle \theta dt=\lambda 'dx'=\lambda ''dx'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1aa9fa9b477884dcfd2b9a85eef879d768f8c2)
équations séparées.
On aura donc en intégrant
![{\displaystyle \int \lambda ''dx''-\int \lambda 'dx'=m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31cabb5af21b884bd6db86da11ef4a7d53f7df3)
étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Ainsi cette équation donnera d’abord
en ![{\displaystyle x'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0965efc45e4f3efbc0e1f88108328343a7331c4d)
Maintenant si l’on substitue, dans la première équation
pour
sa valeur
elle devient
![{\displaystyle gx'-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\theta }{dx'}}\int {\frac {dx'}{\lambda '}}-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\vartheta }{dx'}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda '^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa74da26eaf3d4af2dda2c88eb32fad8699e309)
laquelle étant multipliée par
donne celle-ci
![{\displaystyle g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\lambda '}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b67bdf1a8a769120e1b7e43fdc860bea22db44)
qu’on voit bien être intégrable, et dont l’intégrale sera
![{\displaystyle g\int \lambda 'x'dx'-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx^{2}}{\lambda '}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9725bbb5390318bd007681038f5e2fbe4cf7d6fa)
On trouvera de même, en substituant
à la place de
dans l’équation
et multipliant par
une nouvelle équation intégrahle, et dont l’intégrale sera
![{\displaystyle g\int \lambda ''x''dx''-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c8e942ca4e8a06c258de83877b8b05806f520d)