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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

sera l’équation de condition pour que les mêmes particules qui sont une fois à la surface supérieure y restent toujours ; et

${\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0$

sera l’équation de condition pour que la surface inférieure contienne toujours les mêmes particules du fluide.

Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la manière dont un fluide peut couler dans un vase, et chacun de ces cas demande une solution particulière.

40. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluide coule dans un vase indéfini. Dans ce cas il est visible que l’une et l’autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi l’on aura pour ces deux surfaces les équations

$\Pi '=0,\quad \Pi ''=0,$

et de plus les deux équations de condition

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0,\quad {\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0\ ;$

et ces quatre équations serviront à déterminer $x',$ $x'',$ $\theta$ et $\vartheta$ en $t\ ;$ moyennant quoi le mouvement du fluide sera connu.

L’équation $\Pi '=0$ étant différentiée donne

${\frac {d\Pi '}{dx'}}dx'+{\frac {d\Pi '}{dt}}dt=0\ ;$

donc

${\frac {d\Pi '}{dt}}=-{\frac {d\Pi '}{dx'}}{\frac {dx'}{dt}}\ ;$

substituant cette valeur dans la première équation de condition et divisant par ${\frac {d\Pi '}{dx}},$ on aura

${\frac {dx'}{dt}}={\frac {\theta }{\lambda '}}.$