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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

représenterons par $\lambda .$ Ainsi l’on aura

${\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},$

et, intégrant de nouveau par rapport à $x,$

$\varphi '=\theta \int {\frac {dx}{\lambda }}+\vartheta ,$

en désignant par $\vartheta$ une nouvelle fonction arbitraire de $t.$

Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations et qu’on fasse

${\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}=\mu ,$

on en tirera

$\varphi ''={\frac {d\left(\mu {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}},$

où, en substituant la valeur de ${\frac {d\varphi '}{dx}},$

$\varphi ''=\theta {\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}.$

D’où l’on voit que, puisque $\lambda ,$ $\mu ,$ $\theta$ sont des quantités très-petites du premier ordre, $\varphi ''$ sera aussi très-petite du même ordre.

38. Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules du n^o  33, la vitesse verticale

$p={\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},$

la vitesse horizontale

$r=\varphi ''-z{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}=\theta \left({\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}-z{\dfrac {d{\cfrac {1}{\lambda }}}{dx}}\right),$

ou bien

$r={\frac {\theta }{\lambda }}\left[{\frac {d\mu }{dx}}+\left(z-\mu \right){\frac {1}{\lambda }}{\frac {d\lambda }{dx}}\right].$