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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE
Et, substituant ces valeurs dans l’expression de
du no 29, elle deviendra de cette forme
![{\displaystyle \Pi =\Pi '+z\Pi ''+z^{2}\Pi '''+z^{3}\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c39d8732d10e21d88c44a8ed9dc3b1b691d9600)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Pi '\ \ &=g\left(x\cos \xi +y\cos \eta \right)-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\varphi ''^{2},\\\Pi ''\ &=g\cos \zeta -{\frac {d\varphi ''}{dt}}-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\varphi ''}{dy}}+\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right),\\\Pi '''&={\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dtdx^{2}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dtdy^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dx}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dx}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dy}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dy}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)^{2}\\&+{\frac {1}{2}}\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e453f7bd4b5ad38bad29685e5453a740bd57dec8)
et ainsi de suite.
34. Maintenant, si
est l’équation des parois,
étant une fonction fort petite de
sans
l’équation de condition pour que les mêmes particules du fluide soient toujours contiguës aux parois sera (30)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi ''-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}\right)\\&-{\frac {z^{2}}{2}}\left[{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right){\frac {d\alpha }{dx}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right){\frac {d\alpha }{dy}}\right]\\&+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2481dfefe51e06c051356bc1c1bf1504db7bfd9c)
laquelle devant avoir lieu en même temps que l’équation
il faudra qu’elle soit vraie en y mettant
à la place de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Ainsi l’équation de condition dont il s’agit se réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ''&-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\cfrac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dy}}\right)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\right]}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)\right]}{dy}}\\&+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24fc8a4a40155d39545c952a57592c7eb854a89)
laquelle devra avoir lieu pour tous les points de la paroi donnée.