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DU MOUVEMENT DES FLUIDES
Par le moyen de cette supposition, il est visible qu’on pourra représenter la fonction
par une série de cette forme
![{\displaystyle \varphi =\varphi '+z\varphi ''+z^{2}\varphi '''+z^{3}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746e791a2dcf5da9e174c9e016054a7d092c2d45)
dans laquelle
seront des fonctions de
sans ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Faisant cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+2\varphi ''\right)&+z\ \ \left({\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dy^{2}}}+2.3.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+z^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}+3.4.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc246493ea81bf3b0d1df0c5e7f19c08cdf61a2)
De sorte qu’en égalant séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi '''=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52e8d3941bf14ab379227a8fe9fa91e27d51020)
Ainsi l’expression de
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\varphi '+z\varphi ''-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2.3}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi }{dy^{4}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0aad1208dbc01129b51f7716d6fed5eb3f2e0c)
dans laquelle les fonctions
et
sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est intégrale complète de l’équation proposée.
33. Ayant ainsi l’expression de
nous aurons en différentiant
![{\displaystyle p={\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {d\varphi '}{dx}}+z{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e99553b453fdf1411379b63275390df5da9bf3)
![{\displaystyle -{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dxdy^{2}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54df46b57040699a66a1f305255b32d26d93fd10)
![{\displaystyle q={\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\varphi '}{dy}}+z{\frac {d\varphi ''}{dy}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0982da358fb382fd5e2823edf8db50aab13bbb2d)
![{\displaystyle -{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dy^{3}}}\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615c6cd413fe411a8ea1b1e4a4bc51fee66a7a05)
![{\displaystyle r={\frac {d\varphi }{dz}}=\varphi ''-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fd3916aa5c9cbee8601341421461c80e429d5b)
![{\displaystyle +{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi '}{dy^{4}}}\right)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54894aa43be98637118e0570ec7a8930a9947072)