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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Par le moyen de cette supposition, il est visible qu’on pourra représenter la fonction $\varphi$ par une série de cette forme

$\varphi =\varphi '+z\varphi ''+z^{2}\varphi '''+z^{3}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

dans laquelle $\varphi ',$ $\varphi '',$ $\varphi ''',\ldots$ seront des fonctions de $x,$ $y,$ $t$ sans $z.$

Faisant cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra

${\begin{aligned}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+2\varphi ''\right)&+z\ \ \left({\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dy^{2}}}+2.3.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+z^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}+3.4.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

De sorte qu’en égalant séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de $z,$ on aura

${\begin{aligned}&\varphi '''=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ainsi l’expression de $\varphi$ deviendra

${\begin{aligned}\varphi &=\varphi '+z\varphi ''-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2.3}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi }{dy^{4}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''$ sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est intégrale complète de l’équation proposée.

33. Ayant ainsi l’expression de $\varphi ,$ nous aurons en différentiant

$p={\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {d\varphi '}{dx}}+z{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)$

$-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dxdy^{2}}}\right)+\ldots ,$

$q={\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\varphi '}{dy}}+z{\frac {d\varphi ''}{dy}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)$

$-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dy^{3}}}\right)+\ldots ,$

$r={\frac {d\varphi }{dz}}=\varphi ''-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)$

$+{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi '}{dy^{4}}}\right)+\ldots .$