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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Ainsi l’équation

${\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}=0$

devra être satisfaite en faisant $z=\alpha .$ Et chaque paroi fournira une condition semblable à remplir.

31. À la surface extérieure du fluide la pression $\Pi$ doit être nulle, lorsque le fluide est libre ; mais si le fluide est pressé par une force donnée, alors la valeur de $\Pi$ doit être égale à cette force.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le fluide se meuve uniquement en vertu de sa gravité ; ainsi la quantité $\Pi$ devra être nulle à sa surface extérieure ; par conséquent $\Pi =0$ sera l’équation de cette surface.

On fera donc dans les formules du n^o  10 $\mathrm {B} =\Pi ,$ et l’on aura ces deux équations

$\Pi =0,\quad {\frac {d\Pi }{dt}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\Pi }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\Pi }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\Pi }{dz}}=0,$

lesquelles devant avoir lieu en même temps, il s’ensuit que, si l’on élimine une des variables comme $z,$ l’équation résultante devra subsister d’elle-même.

Au reste, comme la seconde de ces équations résulte de la condition, que les particules du fluide qui sont une fois à la surface y demeurent toujours, elle ne sera pas nécessaire lorsque cette condition cessera d’avoir lieu (numéro cité).

32. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction $\varphi$ au moyen de l’équation

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.$

Mais cette équation n’étant intégrable, en général, par aucune des méthodes connues, nous supposerons que l’une des dimensions de la masse fluide soit fort petite à l’égard des deux autres, en sorte que les coordonnées $z,$ par exemple, soient très-petites vis-à-vis des coordonnées $x$ et $y.$