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DU MOUVEMENT DES FLUIDES
Et il faudra, pour que l’équation soit intégrable, que l’on ait ces conditions
![{\displaystyle \alpha '={\frac {d\beta }{dx}},\quad \alpha ''={\frac {d\gamma }{dx}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c383172a624df220a4ddadfacf6ab5590f533490)
moyennant quoi l’équation intégrée sera
![{\displaystyle \int \left(\alpha dx+\beta y+\gamma z+\ldots \right)=\mathrm {V} -\Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeffa3bd9a082704bfc726c93831ddb2a3aac53b)
26. Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées
d’autres variables
lesquelles soient des fonctions données de
Supposons qu’on ait différentié ces fonctions et qu’on en ait tiré les valeurs
lesquelles seront de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\xi &=\lambda \ \ dx+\mu \ \ dy+\nu \ \ dz,\\d\eta &=\lambda '\ dx+\mu '\ dy+\nu '\ dz,\\d\zeta &=\lambda ''dx+\mu ''dy+\nu ''dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fad26f5d2e9d0ee14130226f9979a591c86d5d0)
étant des fonctions données de <math\xi,\eta,\zeta.</math>
En regardant la quantité
d’abord comme fonction de
et ensuite comme fonction de
on aura
![{\displaystyle dp={\frac {dp}{dx}}dx+{\frac {dp}{dy}}{dy}+{\frac {dp}{dz}}dz={\frac {dp}{d\xi }}{d\xi }+{\frac {dp}{d\eta }}d\eta +{\frac {dp}{d\zeta }}d\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d8d72b06dd54a1cec608cdf7cb2bd1c86e6944)
Donc, substituant à la place de
les valeurs précédentes, et comparant les termes affectés de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}&=\lambda {\frac {dp}{d\xi }}+\lambda '{\frac {dp}{d\eta }}+\lambda ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dy}}&=\mu {\frac {dp}{d\xi }}+\mu '{\frac {dp}{d\eta }}+\mu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dz}}&=\nu {\frac {dp}{d\xi }}\ +\nu '{\frac {dp}{d\eta }}+\nu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c326056d84d2b9c00682dfdef6a7990afcf3e9bc)
et l’on aura de pareilles formules pour les valeurs de
![{\displaystyle {\frac {dq}{dy}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae85af6c1655a80f97f79678ea1ef019580de269)